Sejam x, y in Z. Mostre que:
se x, y<0 então x y>0

Passo 1

O enunciado é: para inteiros x e y, mostrar que se x<0 e y<0 então x y>0. O conteúdo aqui é a propriedade de ordem em anéis ordenados: o inverso aditivo de um número negativo é positivo, e o produto de dois positivos é positivo.

Passo 2

Como x<0, usando a propriedade que diz que multiplicar uma desigualdade estrita por –1 inverte o sinal, temos –x>0. De modo análogo, de y<0 segue –y>0.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de monotonicidade da multiplicação: como –x>0 e –y>0, seu produto é também positivo, isto é, (–x)·(–y)>0.

Passo 4

Por fim, usamos a identidade algébrica em anéis de que o produto de dois inversos aditivos satisfaz (–x)·(–y)=x·y. Assim concluímos que x·y>0.

Resposta

x·y>0

Exercícios relacionados