Sejam
. Mostre que:
se
então
se
Passo 1
O enunciado é: para inteiros x e y, mostrar que se x<0 e y<0 então x y>0. O conteúdo aqui é a propriedade de ordem em anéis ordenados: o inverso aditivo de um número negativo é positivo, e o produto de dois positivos é positivo.
Passo 2
Como x<0, usando a propriedade que diz que multiplicar uma desigualdade estrita por –1 inverte o sinal, temos –x>0. De modo análogo, de y<0 segue –y>0.
Passo 3
Agora aplicamos a propriedade de monotonicidade da multiplicação: como –x>0 e –y>0, seu produto é também positivo, isto é, (–x)·(–y)>0.
Passo 4
Por fim, usamos a identidade algébrica em anéis de que o produto de dois inversos aditivos satisfaz (–x)·(–y)=x·y. Assim concluímos que x·y>0.
Resposta
x·y>0