Seja A: R^{n} \longrightarrow R^{n} um operador algébrico linear. Mostrar que:
\frac{d}{d t} \exp (t A)=A \exp (t A)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um operador linear A:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}, vale
\frac{d}{dt}\exp(tA)=A\exp(tA).
Informações dadas e o que temos disponível:
  • A é um operador linear (equivalente a uma matriz n\times n) atuando em \mathbb{R}^{n}.
  • A exponencial de um operador linear será tratada pela sua série de potências (definição usual).
  • Queremos derivar em relação a t a função t\mapsto\exp(tA) e obter a expressão indicada.

Passo 2

Definir a exponencial de tA por série de potências: por definição (válida para matrizes/operadores em dimensão finita)
\exp(tA)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}A^{k},
onde A^{0}=I (identidade) e A^{k}=A\cdot A\cdots A ( k vezes) para k\ge1. Esta é a definição que vamos usar para manipular a derivada termo a termo.

Passo 3

Mostrar que a série que define \exp(tA) converge (absoluta e uniformemente em intervalos limitados de t). Para isso use uma norma de operador (qualquer norma em espaço finito é equivalente); escrevemos \|\cdot\| para essa norma. Observação simples de desigualdade:
\left\|\frac{t^{k}}{k!}A^{k}\right\|\le\frac{|t|^{k}}{k!}\|A^{k}\|\le\frac{|t|^{k}}{k!}\|A\|^{k}=\frac{(|t|\|A\|)^{k}}{k!}.
A série escalar \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(|t|\|A\|)^{k}}{k!} é a série de Taylor de \exp(|t|\|A\|), que converge para todo t. Pela comparação, a série matricial/operador converge absolutamente para todo t. Além disso, em qualquer intervalo |t|\le T fixo, a série é dominada por \sum_{k}\dfrac{(T\|A\|)^{k}}{k!}, logo converge uniformemente nesse intervalo.

Passo 4

Justificar a diferenciação termo a termo. Para poder diferenciar a série de funções
f(t)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^{k}}{k!}A^{k}
termo a termo, é suficiente mostrar que a série das derivadas converge uniformemente em um intervalo compacto. A derivada de cada termo é
\frac{d}{dt}\left(\frac{t^{k}}{k!}A^{k}\right)=\begin{cases} 0,&k=0,\\[4pt] \frac{k\,t^{k-1}}{k!}A^{k}=\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}A^{k},&k\ge1. \end{cases}
Estimando a norma desses termos, para |t|\le T fixo:
\left\|\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}A^{k}\right\|\le\frac{|t|^{k-1}}{(k-1)!}\|A\|^{k} =\|A\|\frac{(|t|\|A\|)^{k-1}}{(k-1)!}.
A série escalar \sum_{k=1}^{\infty}\|A\|\dfrac{(T\|A\|)^{k-1}}{(k-1)!}=\|A\|\exp(T\|A\|) converge, então a série das derivadas converge uniformemente em |t|\le T. Portanto é permitido derivar termo a termo na série de \exp(tA).]

Passo 5

Derivar termo a termo e escrever o resultado explícito. Usando a permissão do passo anterior:
\frac{d}{dt}\exp(tA)=\frac{d}{dt}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}A^{k} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}A^{k}.
(Nota: o termo k=0 é constante I e sua derivada é zero, por isso a soma começa em k=1.)

Passo 6

Reindexar a soma para enxergar a fatoração por A. Façamos m=k-1. Então k=m+1 e a soma torna-se
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^{k-1}}{(k-1)!}A^{k} =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{t^{m}}{m!}A^{m+1}.
Agora usar associatividade e linearidade das multiplicações de operadores: A^{m+1}=A\cdot A^{m}. Assim
\sum_{m=0}^{\infty}\frac{t^{m}}{m!}A^{m+1} =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{t^{m}}{m!}A\,A^{m} = A\sum_{m=0}^{\infty}\frac{t^{m}}{m!}A^{m}.
Aqui é legítimo colocar A fora da soma à esquerda porque A é uma matriz/operador fixo e multiplica cada termo da soma; além disso A comuta com suas potências ( A A^{m}=A^{m+1}).

Passo 7

Reconhecer a soma que resta como \exp(tA). A soma dentro da multiplicação por A é exatamente a definição da exponencial:
\sum_{m=0}^{\infty}\frac{t^{m}}{m!}A^{m}=\exp(tA).
Portanto juntando os resultados anteriores obtemos
\frac{d}{dt}\exp(tA)=A\exp(tA).

Passo 8

Comentários adicionais (intuitivos e encorajadores): o mesmo raciocínio funciona para matrizes complexas ou para operadores em qualquer espaço vetorial de dimensão finita. Uma outra via é notar que a função X(t)=\exp(tA) satisfaz a EDO linear \dot X(t)=AX(t) com condição inicial X(0)=I, e a solução desse problema é única; como \exp(tA) pela série satisfaz essa EDO, conclui-se também \dot X(t)=AX(t). Mas a demonstração via série é a mais direta e elementar.

Resposta

\frac{d}{d t}\exp(tA)=A\exp(tA).

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