onde A^{0}=I (identidade) e A^{k}=A\cdot A\cdots A (k vezes) para k\ge1. Esta é a definição que vamos usar para manipular a derivada termo a termo.
Passo 3
Mostrar que a série que define \exp(tA) converge (absoluta e uniformemente em intervalos limitados de t). Para isso use uma norma de operador (qualquer norma em espaço finito é equivalente); escrevemos \|\cdot\| para essa norma. Observação simples de desigualdade:
A série escalar \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(|t|\|A\|)^{k}}{k!} é a série de Taylor de \exp(|t|\|A\|), que converge para todo t. Pela comparação, a série matricial/operador converge absolutamente para todo t. Além disso, em qualquer intervalo |t|\le T fixo, a série é dominada por \sum_{k}\dfrac{(T\|A\|)^{k}}{k!}, logo converge uniformemente nesse intervalo.
Passo 4
Justificar a diferenciação termo a termo. Para poder diferenciar a série de funções
f(t)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^{k}}{k!}A^{k}
termo a termo, é suficiente mostrar que a série das derivadas converge uniformemente em um intervalo compacto. A derivada de cada termo é
A série escalar \sum_{k=1}^{\infty}\|A\|\dfrac{(T\|A\|)^{k-1}}{(k-1)!}=\|A\|\exp(T\|A\|) converge, então a série das derivadas converge uniformemente em |t|\le T. Portanto é permitido derivar termo a termo na série de \exp(tA).]
Passo 5
Derivar termo a termo e escrever o resultado explícito. Usando a permissão do passo anterior:
Aqui é legítimo colocar A fora da soma à esquerda porque A é uma matriz/operador fixo e multiplica cada termo da soma; além disso A comuta com suas potências (A A^{m}=A^{m+1}).
Passo 7
Reconhecer a soma que resta como \exp(tA). A soma dentro da multiplicação por A é exatamente a definição da exponencial:
Portanto juntando os resultados anteriores obtemos
\frac{d}{dt}\exp(tA)=A\exp(tA).
Passo 8
Comentários adicionais (intuitivos e encorajadores): o mesmo raciocínio funciona para matrizes complexas ou para operadores em qualquer espaço vetorial de dimensão finita. Uma outra via é notar que a função X(t)=\exp(tA) satisfaz a EDO linear \dot X(t)=AX(t) com condição inicial X(0)=I, e a solução desse problema é única; como \exp(tA) pela série satisfaz essa EDO, conclui-se também \dot X(t)=AX(t). Mas a demonstração via série é a mais direta e elementar.