Seja r um número real positivo e seja \alpha \in \mathbb{C}. Interprete geometricamente:
{z \in \mathbb{C} ;|z|=r};

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma interpretação geométrica:
  • Foi dado um número real positivo r.
  • Foi mencionada uma constante \alpha\in\mathbb{C} (essa informação não é usada no que se pede).
  • Pede-se interpretar geometricamente o conjunto \{z\in\mathbb{C}\;;\;|z|=r\}.

Passo 2

Vamos lembrar o que é um número complexo e o que significa o módulo, com calma e sem pressa. Um número complexo z pode ser escrito como
z = x + iy,
onde x e y são números reais e i é a unidade imaginária ( i^2=-1). No plano complexo (ou plano de Argand) nós identificamos z com o ponto (x,y) no plano cartesiano: a coordenada x é a parte real e y é a parte imaginária.
O módulo de z, escrito |z|, mede a “distância” do ponto z até a origem do plano complexo. A definição é
|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui x^{2}+y^{2} é a soma dos quadrados das coordenadas, e a raiz quadrada dá a distância euclidiana padrão.

Passo 3

Agora usemos a definição para traduzir a condição |z|=r em coordenadas reais. Se z=x+iy, então
|z|=r \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r.
Elevando ambos os lados ao quadrado (isso é seguro porque r\ge 0 e a raiz é não-negativa), obtemos
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Essa é exatamente a equação clássica de uma circunferência no plano cartesiano com centro na origem e raio r.

Passo 4

Explicando geometricamente: a equação \,x^{2}+y^{2}=r^{2}\, descreve todos os pontos do plano cuja distância até a origem é igual a r. Portanto o conjunto \{z\in\mathbb{C}\;;\;|z|=r\} é a circunferência (o contorno do disco) centrada em 0 com raio r — isto é, todos os pontos a uma distância fixa r da origem.
Ressalto que é a circunferência (apenas a fronteira), não o disco preenchido. O disco preenchido seria \{z\in\mathbb{C}\;;\;|z|\le r\}.

Passo 5

Uma forma muito útil e prática de descrever todos os pontos dessa circunferência é usar coordenadas polares / a forma exponencial complexa. Todo número complexo com módulo r pode ser escrito como
z = r e^{i\theta},
onde \theta é o argumento (o ângulo) e varia em [0,2\pi). Em coordenadas reais isso corresponde a
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
À medida que \theta varia de 0 a 2\pi, o ponto (x,y) descreve toda a circunferência de raio r.

Passo 6

Exemplos concretos para fixar a ideia:
  • Se r=1 temos a circunferência unidade: \{z\;;\;|z|=1\}=\{e^{i\theta}\;;\;\theta\in[0,2\pi)\}. Alguns pontos conhecidos: \,1=e^{i\cdot 0}\,,\;i=e^{i\pi/2}\,,\;-1=e^{i\pi}\,,\;-i=e^{i3\pi/2}.
  • Se r=2 os pontos são \{2e^{i\theta}\;;\;\theta\in[0,2\pi)\}, isto é, a circunferência de raio 2 centrada na origem.
Você consegue visualizar: é como um aro com centro em 0 e raio r. Se cair na prova e o enunciado pedir desenhar ou descrever, diga “circunferência de centro 0 e raio r” ou dê a forma paramétrica z=r e^{i\theta}.

Resposta

A circunferência de centro 0 e raio r; equivalentemente \{x+iy\in\mathbb{C}\mid x^{2}+y^{2}=r^{2}\}=\{re^{i\theta}\mid \theta\in[0,2\pi)\}.

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