Seja
um número real positivo e seja
. Interprete geometricamente:
;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma interpretação geométrica:
- Foi dado um número real positivo
. - Foi mencionada uma constante
(essa informação não é usada no que se pede). - Pede-se interpretar geometricamente o conjunto
.
Passo 2
Vamos lembrar o que é um número complexo e o que significa o módulo, com calma e sem pressa. Um número complexo
pode ser escrito como
onde
e
são números reais e
é a unidade imaginária (
). No plano complexo (ou plano de Argand) nós identificamos
com o ponto
no plano cartesiano: a coordenada
é a parte real e
é a parte imaginária.
O módulo de
, escrito
, mede a “distância” do ponto
até a origem do plano complexo. A definição é
Aqui
é a soma dos quadrados das coordenadas, e a raiz quadrada dá a distância euclidiana padrão.
Passo 3
Agora usemos a definição para traduzir a condição
em coordenadas reais. Se
, então
Elevando ambos os lados ao quadrado (isso é seguro porque
e a raiz é não-negativa), obtemos
Essa é exatamente a equação clássica de uma circunferência no plano cartesiano com centro na origem e raio
.
Passo 4
Explicando geometricamente: a equação
descreve todos os pontos do plano cuja distância até a origem é igual a
. Portanto o conjunto
é a circunferência (o contorno do disco) centrada em
com raio
— isto é, todos os pontos a uma distância fixa
da origem.
Ressalto que é a circunferência (apenas a fronteira), não o disco preenchido. O disco preenchido seria
.
Passo 5
Uma forma muito útil e prática de descrever todos os pontos dessa circunferência é usar coordenadas polares / a forma exponencial complexa. Todo número complexo com módulo
pode ser escrito como
onde
é o argumento (o ângulo) e varia em
. Em coordenadas reais isso corresponde a
À medida que
varia de
a
, o ponto
descreve toda a circunferência de raio
.
Passo 6
Exemplos concretos para fixar a ideia:
- Se
temos a circunferência unidade: . Alguns pontos conhecidos: . - Se
os pontos são , isto é, a circunferência de raio centrada na origem.
Você consegue visualizar: é como um aro com centro em
e raio
. Se cair na prova e o enunciado pedir desenhar ou descrever, diga “circunferência de centro
e raio
” ou dê a forma paramétrica
.
Resposta
A circunferência de centro
e raio
; equivalentemente
.