Seja
um número real positivo e seja
. Interprete geometricamente:
;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é um número real positivo. -
(está presente no enunciado, mas não é utilizado na descrição pedida).
A pergunta é: interpretar geometricamente o conjunto
Passo 2
Vamos lembrar o que significa escrever um número complexo como ponto no plano e o que é o módulo:
- Qualquer
pode ser escrito como , com . Geometricamente, isso corresponde ao ponto no plano (eixo real = , eixo imaginário = ). - O módulo
é a distância do ponto à origem . A fórmula é
Explicando devagar:
é a coordenada horizontal,
a vertical; aplicar o teorema de Pitágoras dá a distância do ponto
até a origem.
Passo 3
Transformamos a desigualdade
em coordenadas reais:
- Escrevendo
e usando a fórmula do módulo, temos
- Elevando ambos os lados ao quadrado (atenção: como
e a raiz é não negativa, a equivalência é segura),
Portanto o conjunto pode ser descrito por coordenadas cartesianas como
Passo 4
Interpretação geométrica da desigualdade
:
- A equação
é a circunferência de centro e raio . - A desigualdade
descreve todos os pontos cuja distância à origem é maior que , ou seja, todos os pontos fora dessa circunferência. - Como a desigualdade é estrita (
), a própria circunferência não está incluída. Assim o conjunto é o exterior da circunferência, uma região aberta e ilimitada.
Passo 5
Ilustração com exemplos para fixar:
- Se
, então contém, por exemplo, porque ; não contém porque (igual a , não maior); não contém porque . - Pontos como
são incluídos se . - Topologicamente, o conjunto é um disco aberto complementado: é o complemento no plano do disco fechado de raio
centrado na origem.
Passo 6
Resumo conceitual rápido e incentivo:
- Pense em
sempre como “distância ao centro (origem)”. A condição pede que essa distância seja maior que . Visualize o círculo de raio e a região toda fora dele. Você já tem a imagem — nas provas, desenhar rapidamente a circunferência ajuda muito.
Resposta
O conjunto é o exterior da circunferência de centro na origem e raio
, sem a circunferência:
.