Seja r um número real positivo e seja \alpha \in \mathbb{C}. Interprete geometricamente:
{z \in \mathbb{C} ;|z|>r};

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • r é um número real positivo.
  • \alpha\in\mathbb{C} (está presente no enunciado, mas não é utilizado na descrição pedida).
    A pergunta é: interpretar geometricamente o conjunto
\{z\in\mathbb{C} \mid |z|>r\}.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa escrever um número complexo como ponto no plano e o que é o módulo:
  • Qualquer z\in\mathbb{C} pode ser escrito como z=x+iy, com x,y\in\mathbb{R}. Geometricamente, isso corresponde ao ponto (x,y) no plano (eixo real = x, eixo imaginário = y).
  • O módulo |z| é a distância do ponto (x,y) à origem (0,0). A fórmula é
|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Explicando devagar: x é a coordenada horizontal, y a vertical; aplicar o teorema de Pitágoras dá a distância do ponto (x,y) até a origem.

Passo 3

Transformamos a desigualdade |z|>r em coordenadas reais:
  • Escrevendo z=x+iy e usando a fórmula do módulo, temos
|z|>r \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{x^{2}+y^{2}}>r.
  • Elevando ambos os lados ao quadrado (atenção: como r>0 e a raiz é não negativa, a equivalência é segura),
\sqrt{x^{2}+y^{2}}>r \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}>r^{2}.
Portanto o conjunto pode ser descrito por coordenadas cartesianas como
\{x+iy\in\mathbb{C}\mid x^{2}+y^{2}>r^{2}\}.

Passo 4

Interpretação geométrica da desigualdade x^{2}+y^{2}>r^{2}:
  • A equação x^{2}+y^{2}=r^{2} é a circunferência de centro (0,0) e raio r.
  • A desigualdade x^{2}+y^{2}>r^{2} descreve todos os pontos cuja distância à origem é maior que r, ou seja, todos os pontos fora dessa circunferência.
  • Como a desigualdade é estrita ( >), a própria circunferência não está incluída. Assim o conjunto é o exterior da circunferência, uma região aberta e ilimitada.

Passo 5

Ilustração com exemplos para fixar:
  • Se r=1, então |z|>1 contém, por exemplo, z=2 porque |2|=2>1; não contém z=1 porque |1|=1 (igual a r, não maior); não contém z=0 porque |0|=0<1.
  • Pontos como z= \tfrac{3}{2}+i são incluídos se (\tfrac{3}{2})^{2}+1^{2}>r^{2}.
  • Topologicamente, o conjunto é um disco aberto complementado: é o complemento no plano do disco fechado de raio r centrado na origem.

Passo 6

Resumo conceitual rápido e incentivo:
  • Pense em |z| sempre como “distância ao centro (origem)”. A condição |z|>r pede que essa distância seja maior que r. Visualize o círculo de raio r e a região toda fora dele. Você já tem a imagem — nas provas, desenhar rapidamente a circunferência ajuda muito.

Resposta

O conjunto é o exterior da circunferência de centro na origem e raio r, sem a circunferência: \{z\in\mathbb{C}\mid |z|>r\}=\{x+iy\in\mathbb{C}\mid x^{2}+y^{2}>r^{2}\}.

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