Seja a regiāo dada por
O centro de massa de tem a forma
para dois inteiros positivos e . Quais?
Passo 1
O enunciado define como a parte da elipse
que fica abaixo da reta
Queremos o centro de massa de , assumindo densidade uniforme. Para isso, faremos uma mudança de escala que transforma a elipse em disco de raio 1, depois usaremos o resultado conhecido do centro de massa de um semicírculo.
Passo 2
Definimos as variáveis
Então a elipse vira o disco e a reta passa a ser
O jacobiano da transformação é , mas só precisamos do fato de que R em (u,v) é um semicírculo de raio 1 delimitado por uma reta que passa pela origem.
Passo 3
Para um semicírculo de raio 1 cujo diâmetro é uma linha que passa pela origem no ângulo phi em relação ao eixo u, o centro de massa está à distância
d=43pi
do centro do círculo, no sentido perpendicular ao diâmetro, em direção ao arco. No nosso caso, a reta tem inclinação
phi=arctan!l(tfrac336527r),
logo o vetor unitário perpendicular (apontando para o lado do semicírculo) é