Seja R a regiāo dada por
lx^2265^2+y^21054^2 <= 1 y <= 672265 cdot x
O centro de massa de R tem a forma
(xM, yM)=(A3750 pi,-B3750 pi)
para dois inteiros positivos A e B. Quais?
A=
B=

Passo 1

O enunciado define R como a parte da elipse
x^2265^2+y^21054^2<=1
que fica abaixo da reta
y=672265,x
Queremos o centro de massa l(xM,yMr) de R, assumindo densidade uniforme. Para isso, faremos uma mudança de escala que transforma a elipse em disco de raio 1, depois usaremos o resultado conhecido do centro de massa de um semicírculo.

Passo 2

Definimos as variáveis
u=x265, v=y1054
Então a elipse vira o disco u^2+v^2<=1 e a reta y=(672/265)x passa a ser
v <= 6721054,u = 336527,u
O jacobiano da transformação (u,v)mapsto(x,y) é l|det Jr|=265cdot1054, mas só precisamos do fato de que R em (u,v) é um semicírculo de raio 1 delimitado por uma reta que passa pela origem.

Passo 3

Para um semicírculo de raio 1 cujo diâmetro é uma linha que passa pela origem no ângulo phi em relação ao eixo u, o centro de massa está à distância
d=43pi
do centro do círculo, no sentido perpendicular ao diâmetro, em direção ao arco. No nosso caso, a reta tem inclinação
phi=arctan!l(tfrac336527r),
logo o vetor unitário perpendicular (apontando para o lado do semicírculo) é
l(sinphi,,-cosphir)
Assim o centro de massa em (u,v) vale
l(uM,vMr) =43pi,(sinphi,,-cosphi)

Passo 4

Calculamos sinphi e cosphi usando
sinphi=336raiz527^2+336^2, cosphi=527raiz527^2+336^2
Note que
527^2+336^2=277729+112896=390625=625^2,
logo
sinphi=336625, cosphi=527625

Passo 5

Convertendo de volta para (x,y) por x=265,u, y=1054,v, obtemos
xM =265,uM =265cdot43pi,336625 =4cdot265cdot3361875,pi =7123203750,pi,
yM =1054,vM =1054cdot43pi,l(-527625r) =-4cdot1054cdot5271875,pi =-44436643750,pi

Resposta

A=712320
B=4443664

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