Seja
a região delimitada pelas curvas
e
. Use o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do sólido
obtido pela rotação de
em torno
da reta
.
da reta
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno da reta
a região
limitada pelas curvas
O método das cascas cilíndricas usa tiras verticais em
, cada tira gerando uma casca de raio
e altura igual à diferença
. Vamos:
- Encontrar os pontos de interseção para delimitar o intervalo de
. - Expressar a altura da casca como função de
. - Montar e calcular a integral de
.
Passo 2
Achemos as interseções resolvendo
No intervalo
a função de cima é
e a de baixo
.
Em invertem-se:
,
.
Em
Passo 3
O volume é
Passo 4
Calculemos separadamente
Fazendo as expansões e integrando termo a termo, obtemos
logo
Passo 5
Substituindo em
:
Resposta
O volume do sólido
é
.