Seja R a região delimitada pelas curvas y=raiz[3]x e y=x4. Use o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do sólido S obtido pela rotação de R em torno
da reta x=8.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno da reta x=8 a região R limitada pelas curvas
y = raiz[3]x e y = x4
O método das cascas cilíndricas usa tiras verticais em x, cada tira gerando uma casca de raio r = 8 - x e altura igual à diferença ytop - ybot. Vamos:
  1. Encontrar os pontos de interseção para delimitar o intervalo de x.
  2. Expressar a altura da casca como função de x.
  3. Montar e calcular a integral de 2pi,(raio)cdot(a<ura).

Passo 2

Achemos as interseções resolvendo
raiz[3]x ;=;x4 Longrightarrow x^1/3 - x4 = 0 Longrightarrow x=0,;x=8,;x=-8
No intervalo -8<= x<=0 a função de cima é ytop=tfracx4 e a de baixo ybot=x^1/3.
Em 0<= x<=8 invertem-se: ytop=x^1/3, ybot=tfracx4.

Passo 3

O volume é
V ;=; 2pi gl[ integralx=-8^0(8 - x)l(tfracx4-x^1/3r),dx ;+; integralx=0^8(8 - x)l(x^1/3-tfracx4r),dx gr]

Passo 4

Calculemos separadamente
I1 = integral-8^0(8 - x)l(tfracx4-x^1/3r),dx e I2 = integral0^8(8 - x)l(x^1/3-tfracx4r),dx
Fazendo as expansões e integrando termo a termo, obtemos
I1 = 92821, I2 = 41621,
logo
I1 + I2 = 928+41621 = 134421 = 64

Passo 5

Substituindo em V:
V = 2picdot 64 = 128pi

Resposta

O volume do sólido S é 128pi.

Exercícios relacionados