Q 7 Sabendo que f^prime(x)=raiz[5]x^4+2 x+1x+4 e que f(1)=59, determine f(x).

Passo 1

O enunciado dá a derivada
f'(x)=raiz[5]x^4+2x+1x+4
e a condição inicial f(1)=tfrac59.
O conteúdo é integração de soma de funções, usando a regra do poder e a integral de 1/x, seguida de ajuste da constante via condição inicial.

Passo 2

Integramos o primeiro termo raiz[5]x^4=x^4/5 aplicando a regra do poder integral x^m,dx = x^m+1/(m+1):
integral x^4/5,dx = x^4/5+1tfrac45+1 = x^9/59/5 = 59x^9/5

Passo 3

Agora integramos os demais termos:
integral 2x,dx = x^2, integral 1x,dx = lnlvert xrvert, integral 4,dx = 4x

Passo 4

Somando todas as integrais e incluindo a constante C, obtemos
f(x) = 59x^9/5 ;+; x^2 ;+; lnlvert xrvert ;+; 4x ;+; C

Passo 5

Usamos f(1)=tfrac59:
f(1)=59cdot1^9/5+1^2+ln1+4cdot1+C =59+1+0+4+C =509+C stackrel!=59 ;Longrightarrow; C=-5

Resposta

f(x) = 59x^9/5 + x^2 + lnlvert xrvert + 4x - 5

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