Uma função w=f(x, y) com segundas derivadas parciais contínuas que satisfaz a Equação de Laplace
partial^2 wpartial x^2+partial^2 wpartial y^2=0
é chamada harmônica. Analogamente, uma função w=f(x, y, z) com segundas derivadas parciais contínuas que satisfaz a Equação de Laplace
partial^2 wpartial x^2+partial^2 wpartial y^2+partial^2 wpartial z^2=0
é chamada harmônica. Quais das funções abaixo são harmônicas?
f(x, y, z)=(x^2+y^2+z^2)^-1 / 2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^-1/2 é harmônica, ou seja, satisfaz a equação de Laplace para funções de três variáveis. Vamos usar a definição de derivadas parciais e calcular De.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas de primeira ordem aplicando a regra da cadeia:
(1) partial fpartial x = -x,(x^2+y^2+z^2)^-3/2,
(2) partial fpartial y = -y,(x^2+y^2+z^2)^-3/2,
(3) partial fpartial z = -z,(x^2+y^2+z^2)^-3/2.

Passo 3

Em seguida, derivamos novamente para obter as segundas derivadas:
(1) partial^2 fpartial x^2 = -,(x^2+y^2+z^2)^-3/2 +3x^2,(x^2+y^2+z^2)^-5/2,
(2) partial^2 fpartial y^2 = -,(x^2+y^2+z^2)^-3/2 +3y^2,(x^2+y^2+z^2)^-5/2,
(3) partial^2 fpartial z^2 = -,(x^2+y^2+z^2)^-3/2 +3z^2,(x^2+y^2+z^2)^-5/2.

Passo 4

Somando as três segundas derivadas, temos
De,
o que mostra que f é harmônica em R^3setminus0.

Resposta

A função (x^2+y^2+z^2)^-1/2 é harmônica em R^3setminus0.

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