Uma função
com segundas derivadas parciais contínuas que satisfaz a Equação de Laplace
é chamada harmônica. Analogamente, uma função
com segundas derivadas parciais contínuas que satisfaz a Equação de Laplace
é chamada harmônica. Quais das funções abaixo são harmônicas?
é chamada harmônica. Analogamente, uma função
é chamada harmônica. Quais das funções abaixo são harmônicas?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é harmônica, ou seja, satisfaz a equação de Laplace para funções de três variáveis. Vamos usar a definição de derivadas parciais e calcular
.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas de primeira ordem aplicando a regra da cadeia:
(1) ,
(2) ,
(3) .
(1)
(2)
(3)
Passo 3
Em seguida, derivamos novamente para obter as segundas derivadas:
(1) ,
(2) ,
(3) .
(1)
(2)
(3)
Passo 4
Somando as três segundas derivadas, temos
,
o que mostra que é harmônica em
.
o que mostra que
Resposta
A função
é harmônica em
.