Seja
a regiāo finita entre o gráfico de
e o eixo
.
Encontre o volume do sólido obtido ao girar
em torno da reta
.
Encontre o volume do sólido obtido ao girar
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o volume do sólido obtido ao girar a região
em torno da reta
. A região
é a região finita entre o gráfico de
e o eixo
.
Informações dadas e perguntas claras:
- A curva é
. - A reta de rotação é
. - A região
é a porção entre a curva e o eixo (ou seja, entre e ), limitada onde a curva cruza o eixo . - Pergunta: qual é o volume do sólido gerado por essa rotação?
Passo 2
Determinar os limites em
da região
: onde a curva intersecta o eixo
(isto é, onde
).
Calcular as raízes de .
Calcular as raízes de
As soluções são
e
. Logo, a região
está entre
e
, com
nesse intervalo (de fato, para
temos
).
Passo 3
Escolher o método de cálculo do volume e justificar de forma didática.
Opções usuais:
- Método dos discos/arruelas (washers): útil quando se integra em relação à variável perpendicular ao eixo de rotação e se conhece
como função de . - Método das cascas cilíndricas (shells): útil quando a região é descrita por
, se gira em torno de uma reta vertical (como ) — aí cada fatia vertical gera uma casca cilíndrica.
Aqui a reta de rotação é
(vertical) e a região está dada como
com
entre
e
. Portanto o método das cascas cilíndricas é o mais direto e mais simples: evita inverter funções. Vou usá-lo.
Pequena “aula” sobre o método das cascas cilíndricas:
- Pegamos uma fatia vertical em
de largura . Essa fatia, ao girar em torno de , gera uma casca cilíndrica. - A casca tem:
- raio aproximado
(distância da fatia à reta ), - altura
valor da função acima do eixo , aqui , - espessura
.
- raio aproximado
- A área lateral de uma casca cilíndrica de raio
e altura é . Multiplicando pela espessura obtemos o volume aproximado da casca: . - Somando (integrando) todas as cascas de
a obtemos o volume exato:
Aqui
,
,
,
.
Passo 4
Montar a integral do volume usando o método das cascas:
Explicando cada parte da fórmula:
-
vem da fórmula da circunferência usada na área lateral ( ). -
é o raio da casca. -
é a altura da casca (a distância entre a curva e o eixo ). -
é a espessura da casca. - Os limites
e foram obtidos no Passo 2.
Passo 5
Simplificar o integrando antes de integrar:
Portanto
Passo 6
Integrar termo a termo. Lembrando que a integral de
é
para
.
Calcule:
Aplicando os limites de
a
:
Calcular a diferença dentro do parêntese:
Então
Passo 7
Checagem rápida de plausibilidade (para te deixar mais confiante): o volume é positivo e pequeno (a região é pequena entre
e
), e as contas usaram regras básicas de integração. Parece correto.