Seja R a regiāo finita entre o gráfico de y=x^{2}-x^{3} e o eixo x.
Encontre o volume do sólido obtido ao girar R em torno da reta x=0.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o volume do sólido obtido ao girar a região R em torno da reta x=0. A região R é a região finita entre o gráfico de y=x^{2}-x^{3} e o eixo x.
Informações dadas e perguntas claras:
  • A curva é y=x^{2}-x^{3}.
  • A reta de rotação é x=0.
  • A região R é a porção entre a curva e o eixo x (ou seja, entre y=0 e y=x^{2}-x^{3}), limitada onde a curva cruza o eixo x.
  • Pergunta: qual é o volume do sólido gerado por essa rotação?

Passo 2

Determinar os limites em x da região R: onde a curva intersecta o eixo x (isto é, onde y=0).
Calcular as raízes de x^{2}-x^{3}=0.
x^{2}-x^{3}=x^{2}(1-x)=0
As soluções são x=0 e x=1. Logo, a região R está entre x=0 e x=1, com y\ge 0 nesse intervalo (de fato, para 0\le x\le 1 temos x^{2}-x^{3}\ge 0).

Passo 3

Escolher o método de cálculo do volume e justificar de forma didática.
Opções usuais:
  • Método dos discos/arruelas (washers): útil quando se integra em relação à variável perpendicular ao eixo de rotação e se conhece x como função de y.
  • Método das cascas cilíndricas (shells): útil quando a região é descrita por y=f(x), se gira em torno de uma reta vertical (como x=0) — aí cada fatia vertical gera uma casca cilíndrica.
Aqui a reta de rotação é x=0 (vertical) e a região está dada como y=f(x) com x entre 0 e 1. Portanto o método das cascas cilíndricas é o mais direto e mais simples: evita inverter funções. Vou usá-lo.
Pequena “aula” sobre o método das cascas cilíndricas:
  • Pegamos uma fatia vertical em x de largura dx. Essa fatia, ao girar em torno de x=0, gera uma casca cilíndrica.
  • A casca tem:
    • raio aproximado r=x (distância da fatia à reta x=0),
    • altura h(x)= valor da função acima do eixo x, aqui h(x)=x^{2}-x^{3},
    • espessura dx.
  • A área lateral de uma casca cilíndrica de raio r e altura h é 2\pi r h. Multiplicando pela espessura dx obtemos o volume aproximado da casca: dV \approx 2\pi r h\,dx.
  • Somando (integrando) todas as cascas de x=a a x=b obtemos o volume exato: V = 2\pi\int_{a}^{b} r(x)\,h(x)\,dx.
Aqui a=0, b=1, r(x)=x, h(x)=x^{2}-x^{3}.

Passo 4

Montar a integral do volume usando o método das cascas:
V = 2\pi \int_{0}^{1} x\bigl(x^{2}-x^{3}\bigr)\,dx.
Explicando cada parte da fórmula:
  • 2\pi vem da fórmula da circunferência usada na área lateral ( 2\pi r).
  • x é o raio da casca.
  • \bigl(x^{2}-x^{3}\bigr) é a altura da casca (a distância entre a curva e o eixo x).
  • dx é a espessura da casca.
  • Os limites 0 e 1 foram obtidos no Passo 2.

Passo 5

Simplificar o integrando antes de integrar:
x\bigl(x^{2}-x^{3}\bigr)=x^{3}-x^{4}.
Portanto
V = 2\pi \int_{0}^{1} \bigl(x^{3}-x^{4}\bigr)\,dx.

Passo 6

Integrar termo a termo. Lembrando que a integral de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
Calcule:
\int \bigl(x^{3}-x^{4}\bigr)\,dx = \int x^{3}\,dx - \int x^{4}\,dx = \frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{5}}{5}.
Aplicando os limites de 0 a 1:
V = 2\pi\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = 2\pi\left(\frac{1^{4}}{4}-\frac{1^{5}}{5} - \bigl(0-0\bigr)\right).
V = 2\pi\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right).
Calcular a diferença dentro do parêntese:
\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{5-4}{20}=\frac{1}{20}.
Então
V = 2\pi\cdot\frac{1}{20}=\frac{2\pi}{20}=\frac{\pi}{10}.

Passo 7

Checagem rápida de plausibilidade (para te deixar mais confiante): o volume é positivo e pequeno (a região é pequena entre x=0 e x=1), e as contas usaram regras básicas de integração. Parece correto.

Resposta

\dfrac{\pi}{10}

Exercícios relacionados