Calcule as integrais.
\int_{0}^{\pi} \cos ^{4}(t) \operatorname{sen}(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} \cos^{4}(t)\sin(t)\,dt.
Informações dadas:
  • O integrando é \cos^{4}(t)\sin(t).
  • Os limites de integração são t=0 e t=\pi.
  • Quer-se o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Observação sobre método: quando vemos um produto do tipo \cos^{n}(t) multiplicado por \sin(t)\,dt, uma escolha natural é fazer a substituição
u=\cos(t),
porque a diferencial de u envolve \sin(t)\,dt. Vou explicar isso direitinho.

Passo 3

Calcule a diferencial e transforme a integral. Derivando u=\cos(t) obtemos
du = -\sin(t)\,dt \quad\Rightarrow\quad \sin(t)\,dt = -du.
Transforme também os limites usando u=\cos(t):
\text{quando } t=0,\; u=\cos(0)=1;\qquad \text{quando } t=\pi,\; u=\cos(\pi)=-1.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{\pi} \cos^{4}(t)\sin(t)\,dt = \int_{t=0}^{t=\pi} u^{4}(-du) = \int_{u=1}^{u=-1} -u^{4}\,du.
Invertendo os limites para eliminar o sinal negativo:
\int_{u=1}^{u=-1} -u^{4}\,du = \int_{u=-1}^{u=1} u^{4}\,du.

Passo 4

Agora temos uma integral de um polinômio em u. Lembrete da regra de potências (fórmula):
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C,
onde n é um número real diferente de -1. Aqui n=4, logo uma antiderivada de u^{4} é
\frac{u^{5}}{5}.

Passo 5

Avalie a integral definida usando a antiderivada:
\int_{-1}^{1} u^{4}\,du = \left[\frac{u^{5}}{5}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^{5}}{5}-\frac{(-1)^{5}}{5} = \frac{1-(-1)}{5}=\frac{2}{5}.
Comentário extra (útil na prova): também era possível notar que u^{4} é função par, então
\int_{-1}^{1} u^{4}\,du = 2\int_{0}^{1} u^{4}\,du = 2\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5},
mesmo resultado.

Resposta

\dfrac{2}{5}

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