Seja R a região finita delimitada pelas curvas y=x^{2} e x=y^{2}.
(a) Faça um esboço da região.
(b) Encontre a área da região.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que ele dá.
  • O enunciado pede:
    (a) fazer um esboço da região R limitada pelas curvas dadas;
    (b) encontrar a área da região R.
  • As curvas fornecidas são:
    • y = x^{2}.
    • x = y^{2}.
  • A região R é a região finita (fechada) delimitada por essas duas curvas. Não há outras informações numéricas além das equações das curvas.

Passo 2

Encontremos os pontos de interseção entre as duas curvas — isso delimita os limites da região.
  • Para achar interseções, resolvemos o sistema \begin{cases} y = x^{2},\\[4pt] x = y^{2}. \end{cases}
  • Substituindo y = x^{2} na segunda equação obtemos x = (x^{2})^{2} = x^{4}.
  • Reescrevendo, x^{4} - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x^{3}-1)=0.
  • Logo as soluções reais são x=0 ou x^{3}=1, isto é x=1.
  • Para esses valores de x encontramos y usando y=x^{2}:
    • Se x=0, então y=0^{2}=0.
    • Se x=1, então y=1^{2}=1.
  • Conclusão: as curvas se intersectam nos pontos (0,0) e (1,1).]

Passo 3

Como esboçar a região — passo a passo de desenho e interpretação (isso ajuda a entender qual curva está acima/à direita).
  • Desenhe o sistema de eixos x e y.
  • A curva y = x^{2} é a parábola clássica com concavidade para cima, vértice em (0,0). Para x\in[0,1] ela sobe de 0 a 1.
  • A curva x = y^{2} pode ser escrita como y=\pm\sqrt{x}. É uma “parábola virada para a direita”. A parte relevante para a região finita entre (0,0) e (1,1) é o ramo positivo y=\sqrt{x} (pois a interseção que encontramos tem y\ge0).
  • No intervalo x\in[0,1] tem-se x^{2}\le\sqrt{x} (por exemplo em x=1/2: x^{2}=1/4 e \sqrt{x}\approx0,707), portanto a curva y=\sqrt{x} fica acima de y=x^{2} nesse intervalo.
  • A região R é, portanto, a “folha” entre essas duas curvas no primeiro quadrante, com fronteiras em (0,0) e (1,1).
(Dica visual rápida: imagine a parábola vertical y=x^{2} e a parábola horizontal x=y^{2}; a região entre elas fica à direita da primeira e à esquerda da segunda, no trecho entre 0 e 1.)

Passo 4

Escolha do método para calcular a área e fórmula que vamos usar.
  • Para áreas planas entre duas curvas que se expressam como funções de x (ou de y), uma fórmula padrão é: \text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(\text{topo}(x)-\text{fundo}(x)\bigr)\,dx,Áonde a e b são as abscissas dos pontos de interseção, e \text{topo}(x) e \text{fundo}(x) são as funções que dão as ordenadas superiores e inferiores no intervalo.
  • Aqui já temos as curvas escritas como y=f(x): y=\sqrt{x} (da equação x=y^{2}, ramo positivo) e y=x^{2}. Entre x=0 e x=1, o gráfico de \sqrt{x} está acima do gráfico de x^{2}.
  • Então é natural integrar em relação a x de 0 a 1, usando \text{Área}(R)=\int_{0}^{1}\bigl(\sqrt{x}-x^{2}\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Explicando porque subtrai-se as funções: intuição geométrica.
  • Imagine dividir o intervalo [0,1] em muitas faixas verticais estreitas de largura \Delta x. Em cada faixa a contribuição aproximada para a área é a altura da faixa (diferença entre a curva superior e inferior) vezes \Delta x.
  • Ao somar (integrar) essas contribuições e fazer \Delta x\to0, obtemos a integral \int_{0}^{1}(\text{topo}-\text{fundo})\,dx.
  • Por isso usamos \sqrt{x}-x^{2} dentro da integral.

Passo 6

Calcule a integral passo a passo, sem pular etapas.
  • Primeiro reescrevemos \sqrt{x} em potência: \sqrt{x}=x^{1/2}.
  • A integral é \int_{0}^{1}\bigl(x^{1/2}-x^{2}\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}x^{1/2}\,dx-\int_{0}^{1}x^{2}\,dx.
  • Antiderivadas (lembrando a regra básica \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1):
    • \displaystyle \int x^{1/2}\,dx=\dfrac{x^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}x^{3/2}.
    • \displaystyle \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}.
  • Avaliando de 0 a 1: \left[\dfrac{2}{3}x^{3/2}-\dfrac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{1} =\left(\dfrac{2}{3}\cdot 1^{3/2}-\dfrac{1}{3}\cdot 1^{3}\right)-\left(\dfrac{2}{3}\cdot 0-\dfrac{1}{3}\cdot 0\right).
  • Simplificando: \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}.

Passo 7

Interpretação do resultado e verificação simples.
  • O valor da área encontrada é \dfrac{1}{3}.
  • Checagem rápida (opcional): poderia-se também integrar em relação a y. Em termos de y, as abscissas são x=y^{2} (direita) e x=\sqrt{y} (esquerda? cuidado com inversões) — esse método exige atenção em qual função é a direita e qual a esquerda; ao aplicar corretamente também resulta em 1/3. A integração em x foi mais direta aqui.

Resposta

(a) Esboço: região no primeiro quadrante entre as curvas y=x^{2} (parábola vertical, concavidade para cima) e x=y^{2} (parábola horizontal, concavidade para a direita), limitada pelos pontos de interseção (0,0) e (1,1).
(b) \dfrac{1}{3}

Exercícios relacionados