Seja
a região finita delimitada pelas curvas
e
.
(a) Faça um esboço da região.
(b) Encontre a área da região.
(a) Faça um esboço da região.
(b) Encontre a área da região.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que ele dá.
-
O enunciado pede:
(a) fazer um esboço da regiãolimitada pelas curvas dadas;
(b) encontrar a área da região. -
As curvas fornecidas são:
-
. -
.
-
-
A região
é a região finita (fechada) delimitada por essas duas curvas. Não há outras informações numéricas além das equações das curvas.
Passo 2
Encontremos os pontos de interseção entre as duas curvas — isso delimita os limites da região.
- Para achar interseções, resolvemos o sistema
- Substituindo
na segunda equação obtemos - Reescrevendo,
- Logo as soluções reais são
ou , isto é . - Para esses valores de
encontramos usando : - Se
, então . - Se
, então .
- Se
- Conclusão: as curvas se intersectam nos pontos
e .]
Passo 3
Como esboçar a região — passo a passo de desenho e interpretação (isso ajuda a entender qual curva está acima/à direita).
- Desenhe o sistema de eixos
e . - A curva
é a parábola clássica com concavidade para cima, vértice em . Para ela sobe de a . - A curva
pode ser escrita como . É uma “parábola virada para a direita”. A parte relevante para a região finita entre e é o ramo positivo (pois a interseção que encontramos tem ). - No intervalo
tem-se (por exemplo em : e ), portanto a curva fica acima de nesse intervalo. - A região
é, portanto, a “folha” entre essas duas curvas no primeiro quadrante, com fronteiras em e .
(Dica visual rápida: imagine a parábola vertical
e a parábola horizontal
; a região entre elas fica à direita da primeira e à esquerda da segunda, no trecho entre 0 e 1.)
Passo 4
Escolha do método para calcular a área e fórmula que vamos usar.
- Para áreas planas entre duas curvas que se expressam como funções de
(ou de ), uma fórmula padrão é: onde e são as abscissas dos pontos de interseção, e e são as funções que dão as ordenadas superiores e inferiores no intervalo. - Aqui já temos as curvas escritas como
: (da equação , ramo positivo) e . Entre e , o gráfico de está acima do gráfico de . - Então é natural integrar em relação a
de a , usando
Passo 5
Explicando porque subtrai-se as funções: intuição geométrica.
- Imagine dividir o intervalo
em muitas faixas verticais estreitas de largura . Em cada faixa a contribuição aproximada para a área é a altura da faixa (diferença entre a curva superior e inferior) vezes . - Ao somar (integrar) essas contribuições e fazer
, obtemos a integral . - Por isso usamos
dentro da integral.
Passo 6
Calcule a integral passo a passo, sem pular etapas.
- Primeiro reescrevemos
em potência: . - A integral é
- Antiderivadas (lembrando a regra básica
para ): -
- Avaliando de
a : - Simplificando:
Passo 7
Interpretação do resultado e verificação simples.
- O valor da área encontrada é
. - Checagem rápida (opcional): poderia-se também integrar em relação a
. Em termos de , as abscissas são (direita) e (esquerda? cuidado com inversões) — esse método exige atenção em qual função é a direita e qual a esquerda; ao aplicar corretamente também resulta em . A integração em foi mais direta aqui.
Resposta
(a) Esboço: região no primeiro quadrante entre as curvas
(parábola vertical, concavidade para cima) e
(parábola horizontal, concavidade para a direita), limitada pelos pontos de interseção
e
.
(b)
(b)