Seja R a regiāo finita entre o gráfico de y=x^{2}-x^{3} e o eixo x.
Encontre o volume do sólido obtido ao girar R em torno da reta y=-1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • O enunciado fornece a curva y = x^{2} - x^{3}.
  • A região R é a região finita entre o gráfico de y = x^{2} - x^{3} e o eixo x (ou seja, entre y=0 e y=x^{2}-x^{3}).
  • O eixo de rotação é a reta horizontal y=-1.
  • O que se pede: encontrar o volume do sólido obtido ao girar R em torno de y=-1.
Essas são todas as informações do enunciado e a pergunta a ser respondida.

Passo 2

Primeiro identificamos os limites em x da região R: os pontos onde a curva intersecta o eixo x. Isso vem de resolver y=0.
Resolvendo:
x^{2}-x^{3}=0
Fatorando:
x^{2}(1-x)=0
Portanto as soluções são
x=0\quad\text{e}\quad x=1.
Logo a região R está entre x=0 e x=1, com y variando de 0 até x^{2}-x^{3}.

Passo 3

Escolha do método e ideia geral (explicação didática).
  • Quando uma região entre duas curvas é girada em torno de uma reta horizontal, um método natural é o método dos “discos com buraco” (ou método das lâminas/arruelas, em inglês “washer method”), integrando em x se as funções são dadas como y = f(x).
  • A fórmula geral do método dos discos com buraco é:
V = \pi\int_{a}^{b}\bigl(R(x)^{2}-r(x)^{2}\bigr)\,dx,
onde R(x) é o raio externo (distância do eixo de rotação até a curva mais afastada do eixo) e r(x) é o raio interno (distância do eixo até a curva mais próxima do eixo), ambos medidos na mesma direção (aqui verticalmente).
Aplicando ao nosso caso:
  • O eixo de rotação é y=-1.
  • A “borda superior” da região é y=x^{2}-x^{3}; a “borda inferior” é y=0.
  • Distância vertical entre y=-1 e y=x^{2}-x^{3} (raio externo):
R(x)=\bigl(x^{2}-x^{3}\bigr)-(-1)=1+x^{2}-x^{3}.
  • Distância vertical entre y=-1 e y=0 (raio interno):
r(x)=0-(-1)=1.

Passo 4

Montar a integral do volume com os raios encontrados.
V=\pi\int_{0}^{1}\Bigl[\bigl(1+x^{2}-x^{3}\bigr)^{2}-1^{2}\Bigr]\,dx.
Agora simplificamos o integrando para facilitar a integração. Primeiro escrever
\bigl(1+x^{2}-x^{3}\bigr)^{2}-1 = 2\bigl(x^{2}-x^{3}\bigr)+\bigl(x^{2}-x^{3}\bigr)^{2},
porque (1+u)^{2}-1 = 2u+u^{2} com u=x^{2}-x^{3}.
Calculemos \bigl(x^{2}-x^{3}\bigr)^{2}:
\bigl(x^{2}-x^{3}\bigr)^{2}=x^{4}-2x^{5}+x^{6}.
Portanto o integrando é:
2x^{2}-2x^{3}+x^{4}-2x^{5}+x^{6}.

Passo 5

Escrever a integral pronta para integrar:
V=\pi\int_{0}^{1}\bigl(2x^{2}-2x^{3}+x^{4}-2x^{5}+x^{6}\bigr)\,dx.

Passo 6

Integramos termo a termo usando a regra da potência: \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Antiderivadas de cada termo:
\int 2x^{2}\,dx = \frac{2x^{3}}{3}, \qquad \int -2x^{3}\,dx = -\frac{2x^{4}}{4} = -\frac{x^{4}}{2},
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}, \qquad \int -2x^{5}\,dx = -\frac{2x^{6}}{6} = -\frac{x^{6}}{3},
\int x^{6}\,dx = \frac{x^{7}}{7}.
Somando:
\int\bigl(2x^{2}-2x^{3}+x^{4}-2x^{5}+x^{6}\bigr)\,dx = \frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{2}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{6}}{3}+\frac{x^{7}}{7}.

Passo 7

Avaliar a primitiva entre 0 e 1 e multiplicar por \pi.
Substituindo x=1 (em x=0 todos os termos anulam), obtemos:
\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}-\frac{1}{3}+\frac{1}{7}.
Agora somamos essas frações. Colocando em denominador comum 210 (múltiplo de 2,3,5,7):
\frac{2}{3}=\frac{140}{210},\quad -\frac{1}{2}=-\frac{105}{210},\quad \frac{1}{5}=\frac{42}{210},
-\frac{1}{3}=-\frac{70}{210},\quad \frac{1}{7}=\frac{30}{210}.
Somando numeradores:
140-105+42-70+30 = 37.
Logo a soma é \dfrac{37}{210}.
Multiplicando por \pi:
V=\pi\cdot\frac{37}{210}=\frac{37\pi}{210}.

Passo 8

Interpretação final e dica rápida para a prova.
  • O volume exato é \dfrac{37\pi}{210}.
  • Dica prática: sempre identifique claramente os raios (distâncias verticais ao eixo de rotação). Se um dos limites é uma reta horizontal (aqui y=0), muitas vezes um dos raios será constante — isso simplifica bastante os cálculos.
  • Força aí — com prática esses passos ficam automáticos: achar interseções, escolher disco/vedeta, determinar R(x) e r(x), montar a integral e integrar termo a termo.

Resposta

\dfrac{37\pi}{210}

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