Seja
a regiāo finita entre o gráfico de
e o eixo
.
Encontre o volume do sólido obtido ao girar
em torno da reta
.
Encontre o volume do sólido obtido ao girar
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- O enunciado fornece a curva
. - A região
é a região finita entre o gráfico de e o eixo (ou seja, entre e ). - O eixo de rotação é a reta horizontal
. - O que se pede: encontrar o volume do sólido obtido ao girar
em torno de .
Essas são todas as informações do enunciado e a pergunta a ser respondida.
Passo 2
Primeiro identificamos os limites em
da região
: os pontos onde a curva intersecta o eixo
. Isso vem de resolver
.
Resolvendo:
Fatorando:
Portanto as soluções são
Logo a região
está entre
e
, com
variando de
até
.
Passo 3
Escolha do método e ideia geral (explicação didática).
- Quando uma região entre duas curvas é girada em torno de uma reta horizontal, um método natural é o método dos “discos com buraco” (ou método das lâminas/arruelas, em inglês “washer method”), integrando em
se as funções são dadas como . - A fórmula geral do método dos discos com buraco é:
onde
é o raio externo (distância do eixo de rotação até a curva mais afastada do eixo) e
é o raio interno (distância do eixo até a curva mais próxima do eixo), ambos medidos na mesma direção (aqui verticalmente).
Aplicando ao nosso caso:
- O eixo de rotação é
. - A “borda superior” da região é
; a “borda inferior” é . - Distância vertical entre
e (raio externo):
- Distância vertical entre
e (raio interno):
Passo 4
Montar a integral do volume com os raios encontrados.
Agora simplificamos o integrando para facilitar a integração. Primeiro escrever
porque
com
.
Calculemos
:
Portanto o integrando é:
Passo 5
Escrever a integral pronta para integrar:
Passo 6
Integramos termo a termo usando a regra da potência:
.
Antiderivadas de cada termo:
Somando:
Passo 7
Avaliar a primitiva entre
e
e multiplicar por
.
Substituindo
(em
todos os termos anulam), obtemos:
Agora somamos essas frações. Colocando em denominador comum
(múltiplo de
):
Somando numeradores:
Logo a soma é
.
Multiplicando por
:
Passo 8
Interpretação final e dica rápida para a prova.
- O volume exato é
. - Dica prática: sempre identifique claramente os raios (distâncias verticais ao eixo de rotação). Se um dos limites é uma reta horizontal (aqui
), muitas vezes um dos raios será constante — isso simplifica bastante os cálculos. - Força aí — com prática esses passos ficam automáticos: achar interseções, escolher disco/vedeta, determinar
e , montar a integral e integrar termo a termo.