Determine o trabalho realizado pelo campo de força F em uma partícula que se move sobre a curva C
F(x, y, z)=lang<= z^3, y z, xrang<=, C é a circunferência de raio 2 no plano y z centrado na origem com orientação horária quando visto do eixo x positivo.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho feito por um campo de força vec F(x,y,z)=lang<= z^3, y z, xrang<= ao longo de uma circunferência C de raio 2 no plano y z, orientada no sentido horário vista do eixo +x. O que precisamos é avaliar a integral de linha de vec F sobre C:
W=integralC vec Fcdot dvec r
.

Passo 2

Para parametrizar C, note que no plano y z temos x=0. Vista do eixo +x a curva horária corresponde a um parâmetro que vai no sentido inverso ao usual. Podemos usar
r(t)=l(0,,2cos t,,-2sin tr), tin[0,2pi]
Assim o movimento começa em (0,2,0) e segue horário.

Passo 3

Calculamos o diferencial de arco:
dr=r'(t),dt=l(0,,-2sin t,,-2cos tr)dt

Passo 4

Substituímos a parametrização em vec F:
vec F(r(t))=l((-2sin t)^3,,(2cos t)(-2sin t),,0r)=l(-8sin^3 t,,-4cos tsin t,,0r)

Passo 5

Fazemos o produto escalar vec F(r(t))cdot r'(t) e obtemos o integrando:
vec Fcdot dr =l(-8sin^3 t,,-4cos tsin t,,0r)cdotl(0,,-2sin t,,-2cos tr)dt=8cos t,sin^2 t,dt

Passo 6

Por fim, integramos de 0 a 2pi. Usando a substituição u=sin t, du=cos t,dt, os limites retornam a zero e:
W=integral0^2pi8cos tsin^2 t,dt=integralu(0)=0^u(2pi)=08u^2,du=0

Resposta

0

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