Seja R a região plana limitada por y=arcsin (x), y=arcsin (-x) e x=-1. Se a densidade é rho(x, y)=k, ( k>0 ), então a massa e o centro de massa de R são dados, respectivamente por:
Escolha uma opção:
a. (pi-2) k e (pi4 pi-8, 0)
b. (pi+2) k e (-pi4 pi-8, 0)
c. Nenhuma das Respostas
d. (pi-2) k e (-pi4 pi-8, 0)
e. (pi-2) k e (-pi4 pi+8, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a massa e o centro de massa da região que é delimitada pelas curvas , e a reta . A densidade nessa região é constante, igual a . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais duplas, especialmente para encontrar a massa e as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a região . As curvas e são simétricas em relação ao eixo , e a reta nos dá o limite esquerdo da região. Como está definida para entre -1 e 1, nossa região está limitada nesse intervalo no eixo .

Passo 3

Vamos visualizar a região . Quando , e . Assim, a região está entre e , variando de a .

Passo 4

Agora, vamos calcular a massa M = integralR rho(x, y) , dA = k integral-1^sin(y) integral-pi2^pi2 dy , dx da região. A massa é a integral da densidade sobre a área M = k integral-1^1 integral-arcsin(x)^arcsin(x) dy , dx :
integral-arcsin(x)^arcsin(x) dy = 2 arcsin(x)
Mas para facilitar, é melhor integrar em ordem M = k integral-1^1 2 arcsin(x) , dx = 2k integral-1^1 arcsin(x) , dx primeiro. Então:
Calculando a integral interna:
Então:

Passo 5

Vamos calcular a integral integral arcsin(x) , dx = x arcsin(x) + raiz1 - x^2 + C . Usando integração por partes:
[ x arcsin(x) + raiz1 - x^2 ]-1^1 = (1 cdot pi2 + 0) - (-1 cdot (-pi2) + 0) = pi2 - pi2 = 0
Aplicando os limites de -1 a 1:
2 integral0^1 arcsin(x) , dx
Isso não faz sentido, então precisamos revisar. Na verdade, pela simetria da função 2 [ x arcsin(x) + raiz1 - x^2 ]0^1 = 2 (1 cdot pi2 + 0 - (0 + 1)) = 2 (pi2 - 1) = pi - 2 , a área total de M = 2k cdot pi - 22 = (pi - 2)k de -1 a 1 não é zero. Em vez disso, devemos considerar que a integral de de -1 a 1 é:
Calculando isso:
Então, a massa é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o centro de massa barx = 1M integralR x rho(x, y) , dA = kM integral-1^1 integral-arcsin(x)^arcsin(x) x , dy , dx . Devido à simetria da região em relação ao eixo integral-arcsin(x)^arcsin(x) x , dy = 2x arcsin(x) , sabemos que barx = k(pi - 2)k cdot 2 integral-1^1 x arcsin(x) , dx = 2pi - 2 integral0^1 x arcsin(x) , dx .
Para encontrar integral x arcsin(x) , dx = x^22 arcsin(x) - 12 integral x^2raiz1 - x^2 , dx , usamos a fórmula:
barx = -pi4pi - 8
Calculando a integral interna:
Então:
Usando integração por partes novamente:
Após cálculos apropriados, chegamos a:

Resposta

A massa da região é e o centro de massa é . Portanto, a resposta correta é a opção d.

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