Seja
a região plana limitada por
e
. Se a densidade é
, (
), então a massa e o centro de massa de
são dados, respectivamente por:
Escolha uma opção:
a.
e
b.
e
c. Nenhuma das Respostas
d.
e
e.
e
Escolha uma opção:
a.
b.
c. Nenhuma das Respostas
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a massa e o centro de massa da região
que é delimitada pelas curvas
,
e a reta
. A densidade nessa região é constante, igual a
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais duplas, especialmente para encontrar a massa e as coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é a região
. As curvas
e
são simétricas em relação ao eixo
, e a reta
nos dá o limite esquerdo da região. Como
está definida para
entre -1 e 1, nossa região
está limitada nesse intervalo no eixo
.
Passo 3
Vamos visualizar a região
. Quando
,
e
. Assim, a região
está entre
e
, variando
de
a
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a massa
da região. A massa é a integral da densidade sobre a área
:
Mas para facilitar, é melhor integrar em ordem
primeiro. Então:
Calculando a integral interna:
Então:
Passo 5
Vamos calcular a integral
. Usando integração por partes:
Aplicando os limites de -1 a 1:
Isso não faz sentido, então precisamos revisar. Na verdade, pela simetria da função
, a área total de
de -1 a 1 não é zero. Em vez disso, devemos considerar que a integral de
de -1 a 1 é:
Calculando isso:
Então, a massa
é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o centro de massa
. Devido à simetria da região em relação ao eixo
, sabemos que
.
Para encontrar
, usamos a fórmula:
Calculando a integral interna:
Então:
Usando integração por partes novamente:
Após cálculos apropriados, chegamos a:
Resposta
A massa da região é
e o centro de massa é
. Portanto, a resposta correta é a opção d.