Seja B a região do espaço situada no interior do cilindro x^2+y^2=1 e delimitada pelos planos z=0 e x+y+z=1. Calcule
integral triplaB(x+y+z) d V

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral triplo de f(x,y,z)=x+y+z sobre a região B dada pelo cilindro x^2+y^2<=1 entre os planos z=0 e x+y+z=1. Vamos usar o conteúdo de integrais múltiplas e coordenadas cartesianas e depois coordenadas polares para simplificar.

Passo 2

Escrevemos o integral em ordem dz,dx,dy:
integral triplaB(x+y+z),dV=integral duplax^2+y^2<=1(integral0^1-x-y(x+y+z),dz)dA

Passo 3

Calculamos primeiro o integral interno em z:
integral0^1-x-y(x+y+z),dz=(x+y)(1-x-y)+12(1-x-y)^2
Fazendo as contas: (x+y)(1-x-y)+tfrac12(1-x-y)^2=tfrac1-(x+y)^22

Passo 4

Substituindo de volta, o integral vira:
integral triplaB(x+y+z),dV=12integral duplax^2+y^2<=1l[1-(x+y)^2r]dA

Passo 5

Agora quebramos em duas partes:
integral duplaD1,dA=pi,
integral duplaD(x+y)^2dA=integral duplaD(x^2+2xy+y^2)dA=pi4+0+pi4=pi2,
onde usamos que sobre o disco unitário integral dupla x^2dA=integral dupla y^2dA=pi/4 e integral dupla xy,dA=0.

Passo 6

Finalmente:
integral triplaB(x+y+z),dV=12l(pi-pi2r)=pi4

Resposta

pi/4

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