Seja
a região triangular do plano
de vértices
e
. Calcule a área da parte do plano
sobre a região
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da parte do plano
que está situada sobre a região do plano
definida por
As perguntas são: qual é essa área (número real) e como calcular passo a passo?
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Observação: a região
é um triângulo no plano
com vértices
(isso decorre das desigualdades dadas).
Passo 2
Vou usar a fórmula clássica para a área de uma superfície que é gráfico de uma função
sobre uma região
do plano
. A fórmula diz que a área
é
Explicando essa fórmula de forma simples e intuitiva: se você olhasse um pequeno retângulo diferencial de área
em
, quando esse retângulo é projetado sobre a superfície
ele se estica um pouco; a razão entre a área do pedaço da superfície e
é aproximadamente
. Por isso integramos esse fator sobre todo
.
Passo 3
Identifico a função
cujo gráfico é o plano dado:
Agora calculo as derivadas parciais (essas derivadas medem a inclinação da superfície nas direções
e
):
Explanação: derivar
em relação a
trata
como constante, então o termo
vira
; mesma ideia para
.
Passo 4
Substituo
e
na fórmula do integrando:
Perceba que o integrando é uma constante (
), o que simplifica muito o cálculo: a área da superfície é simplesmente
vezes a área da região
.
Passo 5
Então a área pedida é
Agora preciso calcular
, a área do triângulo no plano
.
Passo 6
Calculo a área de
de duas formas equivalentes (escolha a que você preferir na prova):
Método geométrico (direto):
é um triângulo retângulo com catetos de comprimento
(vértices em
), então
Método por integral iterada (mostrando como montar os limites):
Faço a integral:
Passo 7
Multiplico o fator
pela área do triângulo:
Esse é o valor final da área da parte do plano
sobre a região dada.