Seja R a região triangular do plano x y de vértices (0,0,0),(0,1,0) e (1,1,0). Calcule a área da parte do plano z=1-x-y sobre a região x \geqslant 0, y \geqslant 0 e x+y \leqslant 1.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do plano \,z=1-x-y\, que está situada sobre a região do plano xy definida por
x\ge 0,\qquad y\ge 0,\qquad x+y\le 1.
As perguntas são: qual é essa área (número real) e como calcular passo a passo?
Informações relevantes fornecidas:
\text{plano: }\; z=1-x-y,
\text{região no plano }xy:\; D=\{(x,y)\mid x\ge 0,\; y\ge 0,\; x+y\le 1\}.ã
Observação: a região D é um triângulo no plano xy com vértices (0,0),\,(1,0),\,(0,1) (isso decorre das desigualdades dadas).

Passo 2

Vou usar a fórmula clássica para a área de uma superfície que é gráfico de uma função z=f(x,y) sobre uma região D do plano xy. A fórmula diz que a área A é
A=\iint_{D}\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}\;dA.
Explicando essa fórmula de forma simples e intuitiva: se você olhasse um pequeno retângulo diferencial de área dA em D, quando esse retângulo é projetado sobre a superfície z=f(x,y) ele se estica um pouco; a razão entre a área do pedaço da superfície e dA é aproximadamente \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}. Por isso integramos esse fator sobre todo D.

Passo 3

Identifico a função f(x,y) cujo gráfico é o plano dado:
f(x,y)=1-x-y.
Agora calculo as derivadas parciais (essas derivadas medem a inclinação da superfície nas direções x e y):
\frac{\partial f}{\partial x}=f_x=-1,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=f_y=-1.
Explanação: derivar 1-x-y em relação a x trata y como constante, então o termo -x vira -1; mesma ideia para y.

Passo 4

Substituo f_x e f_y na fórmula do integrando:
\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}=\sqrt{1+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.
Perceba que o integrando é uma constante ( \sqrt{3}), o que simplifica muito o cálculo: a área da superfície é simplesmente \sqrt{3} vezes a área da região D.

Passo 5

Então a área pedida é
A=\iint_{D}\sqrt{3}\;dA=\sqrt{3}\iint_{D}dA=\sqrt{3}\cdot \text{Área}(D).Á
Agora preciso calcular \text{Área}(D)Á, a área do triângulo no plano xy.

Passo 6

Calculo a área de D de duas formas equivalentes (escolha a que você preferir na prova):
Método geométrico (direto): D é um triângulo retângulo com catetos de comprimento 1 (vértices em (0,0),(1,0),(0,1)), então
\text{Área}(D)=\frac{1\cdot 1}{2}=\frac{1}{2}.Á
Método por integral iterada (mostrando como montar os limites):
\text{Área}(D)=\iint_{D} dA=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{1-x} dy\right)dx =\int_{0}^{1}(1-x)\,dx.Á
Faço a integral:
\int_{0}^{1}(1-x)\,dx=\Big[x-\frac{x^{2}}{2}\Big]_{0}^{1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 7

Multiplico o fator \sqrt{3} pela área do triângulo:
A=\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Esse é o valor final da área da parte do plano z=1-x-y sobre a região dada.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}

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