Seja R a região triangular do plano x y de vértices (0,0,0),(0,1,0) e (1,1,0). Determine a área da superfície da parte do gráfico de z=9-x^{2}-y^{2} acima do plano x y ou sobre ele.

Passo 1

O enunciado nos dá a função z=9-x^{2}-y^{2} e pede a área da parte do gráfico dessa superfície que está “acima do plano x y ou sobre ele” — isto é, a parte do gráfico onde z\ge 0. Também foi mencionada a região triangular R de vértices (0,0,0),(0,1,0),(1,1,0), mas a pergunta que vou resolver é a área da porção do gráfico com z\ge 0. Dados relevantes que vamos usar:
\text{Função: } z=f(x,y)=9-x^{2}-y^{2}.çã
\text{Condição para "acima do plano }xy\text{": } f(x,y)\ge 0 \Longleftrightarrow x^{2}+y^{2}\le 9.çã
O objetivo final: calcular a área da superfície S=\{(x,y,f(x,y))\mid x^{2}+y^{2}\le 9\}.

Passo 2

Fórmula para área de gráfico de função de duas variáveis. Se z=f(x,y) é diferenciável numa região D do plano xy, a área da superfície S que é o gráfico de f sobre D é dada por
A=\iint_{D}\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,dA.
Explicação rápida do porquê (intuição): dividir D em pedaços pequenos de área \Delta A; cada pedaço dá origem a um elemento de superfície aproximadamente plano cuja área é \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,\Delta A. Aqui f_x e f_y são as derivadas parciais e aparecem porque medem a inclinação da superfície nas direções x e y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=9-x^{2}-y^{2}.
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(9-x^{2}-y^{2})=-2x,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(9-x^{2}-y^{2})=-2y.
Portanto o integrando fica
\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}=\sqrt{1+(-2x)^2+(-2y)^2}=\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}=\sqrt{1+4(x^{2}+y^{2})}.

Passo 4

Determinar a região D sobre a qual integrar. A parte do gráfico acima ou sobre o plano xy corresponde a z\ge 0, isto é
9-x^{2}-y^{2}\ge 0 \Longleftrightarrow x^{2}+y^{2}\le 9.
Logo D é o disco centrado na origem de raio 3: \{(x,y)\mid 0\le r\le 3,\\\ 0\le\theta<2\pi\} em coordenadas polares.

Passo 5

Trocar para coordenadas polares para aproveitar a simetria (o integrando depende apenas de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}). Em coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dA=r\,dr\,d\theta.
O integrando \sqrt{1+4(x^{2}+y^{2})} vira \sqrt{1+4r^{2}}. Assim a área total é
A=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{3}\sqrt{1+4r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.
Explicação: o fator extra r vem do jacobiano da mudança para polares; os limites são r\in[0,3] e \theta\in[0,2\pi].

Passo 6

Calcular a integral em r. Precisamos de
\int_{0}^{3} r\sqrt{1+4r^{2}}\,dr.
Fazemos a substituição u=1+4r^{2}. Então du=8r\,dr, ou seja r\,dr=\dfrac{du}{8}. Quando r=0 temos u=1; quando r=3 temos u=1+4\cdot 9=37. Assim
\int_{0}^{3} r\sqrt{1+4r^{2}}\,dr=\int_{u=1}^{37}\sqrt{u}\,\frac{du}{8}=\frac{1}{8}\int_{1}^{37} u^{1/2}\,du.
Integrando u^{1/2} obtemos \dfrac{2}{3}u^{3/2}. Portanto
\int_{0}^{3} r\sqrt{1+4r^{2}}\,dr=\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_{1}^{37}=\frac{1}{12}\left(37^{3/2}-1\right).

Passo 7

Voltar à integral em \theta. A integral em \theta é trivial (constante em \theta) e vai de 0 a 2\pi. Assim a área total é
A=\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{12}\bigl(37^{3/2}-1\bigr)\right)d\theta=\frac{1}{12}\bigl(37^{3/2}-1\bigr)\cdot 2\pi.
Simplificando:
A=\frac{\pi}{6}\bigl(37^{3/2}-1\bigr).

Resposta

\displaystyle A=\frac{\pi}{6}\bigl(37^{3/2}-1\bigr)

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