Seja
a região triangular do plano
de vértices
e
. Determine a área da superfície da parte do gráfico de
acima do plano
ou sobre ele.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede a área da parte do gráfico dessa superfície que está “acima do plano
ou sobre ele” — isto é, a parte do gráfico onde
. Também foi mencionada a região triangular
de vértices
, mas a pergunta que vou resolver é a área da porção do gráfico com
. Dados relevantes que vamos usar:
O objetivo final: calcular a área da superfície
.
Passo 2
Fórmula para área de gráfico de função de duas variáveis. Se
é diferenciável numa região
do plano
, a área da superfície
que é o gráfico de
sobre
é dada por
Explicação rápida do porquê (intuição): dividir
em pedaços pequenos de área
; cada pedaço dá origem a um elemento de superfície aproximadamente plano cuja área é
. Aqui
e
são as derivadas parciais e aparecem porque medem a inclinação da superfície nas direções
e
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Portanto o integrando fica
Passo 4
Determinar a região
sobre a qual integrar. A parte do gráfico acima ou sobre o plano
corresponde a
, isto é
Logo
é o disco centrado na origem de raio
:
em coordenadas polares.
Passo 5
Trocar para coordenadas polares para aproveitar a simetria (o integrando depende apenas de
). Em coordenadas polares:
O integrando
vira
. Assim a área total é
Explicação: o fator extra
vem do jacobiano da mudança para polares; os limites são
e
.
Passo 6
Calcular a integral em
. Precisamos de
Fazemos a substituição
. Então
, ou seja
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Integrando
obtemos
. Portanto
Passo 7
Voltar à integral em
. A integral em
é trivial (constante em
) e vai de
a
. Assim a área total é
Simplificando: