Considere a curva r(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right), t \in[0,1].
a) Encontre o comprimento da curva.
b) Reparametrize a curva em função do comprimento de arco.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
r(t)=\bigl(t,\;t^{2},\;t^{3}\bigr),\qquad t\in[0,1],
e pede duas coisas:
  • (a) encontrar o comprimento da curva (ou seja, o comprimento do arco quando t varia de 0 a 1);
  • (b) reparametrizar a curva em função do comprimento de arco (ou seja, produzir uma parametrização por comprimento s, com s=0 em t=0).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A curva está dada explicitamente em termos de t.
  • O intervalo de parâmetro é [0,1].
  • Para obter o comprimento e a reparametrização por comprimento precisamos da derivada r'(t) e da sua norma \lVert r'(t)\rVert.

Passo 2

Regra básica (rápida aula): se r(t) é uma curva regular e suave em [a,b], o comprimento do arco entre t=a e t=b é
\text{comprimento}=\int_{a}^{b}\lVert r'(t)\rVert\,dt,
onde \lVert r'(t)\rVert é a norma euclidiana do vetor derivada. Aqui cada passo:
  • Primeiro calcule r'(t).
  • Depois calcule \lVert r'(t)\rVert.
  • Por fim integre de 0 a 1.
Calculemos r'(t):
r'(t)=\bigl(1,\;2t,\;3t^{2}\bigr).
A norma é
\lVert r'(t)\rVert=\sqrt{1^{2}+(2t)^{2}+(3t^{2})^{2}}=\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}.
Portanto o comprimento L pedido em (a) é
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}\,dt.

Passo 3

Vamos estudar a integral para ver se dá para obter uma expressão elementar e, se não, como prosseguir.
Observação algebraica útil: o polinômio dentro da raiz pode ser escrito como
1+4t^{2}+9t^{4}=(3t^{2}+\sqrt{2}\,t+1)(3t^{2}-\sqrt{2}\,t+1),
ou também
1+4t^{2}+9t^{4}=(3t^{2}+1)^{2}-2t^{2}.
Nenhuma dessas formas transforma a raiz numa quadratura imediata simples do tipo \sqrt{(at+b)^{2}}. Isso indica que a primitiva não é uma função elementar simples (aparece, em geral, primitiva em termos de integrais elípticas). Logo não esperamos um antiderivado elementar bonito para L.
Quando a primitiva não é elementar, duas coisas práticas podemos fazer:
  • trabalhar com a expressão integral exata e, para reparametrização, definir s(t) via integral e inverter implicitamente; ou
  • avaliar numericamente a integral para um valor numérico do comprimento, usando um método numérico (Simpson, por exemplo). Na prova pode ser aceitável deixar como integral se for pedido simbólico; se for pedido valor numérico, aplicar uma regra de integração numérica.
Aqui vou obter um valor numérico razoavelmente preciso para L e depois dar a reparametrização por comprimento na forma adequada (implícita) e também uma aproximação em série útil para trabalhar na prova sem calculadora.

Passo 4

Avaliação numérica do comprimento por uma regra compósita de Simpson (explico para que possa repetir na prova com poucos pontos se precisar).
Defina f(t)=\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}. Vamos aproximar
L=\int_{0}^{1}f(t)\,dt.
Faço Simpson com n=8 subintervalos (h = 1/8=0,125). Calculei os valores (mostro os resultados arredondados que você pode recalcular na prova):
  • f(0)=\sqrt{1}=1.
  • f(0{,}125)\approx1{,}03185.
  • f(0{,}25)\approx1{,}13364.
  • f(0{,}375)\approx1{,}3193.
  • f(0{,}5)=\sqrt{2{,}5625}\approx1{,}60078.
  • f(0{,}625)\approx1{,}98387.
  • f(0{,}75)\approx2{,}46934.
  • f(0{,}875)\approx3{,}0564.
  • f(1)=\sqrt{14}\approx3{,}741657.
Aplicando a fórmula de Simpson compósita:
L\approx\frac{h}{3}\Bigl(f(0)+4\sum_{\text{ímpares}} f(t_k)+2\sum_{\text{pares interior}} f(t_k)+f(1)\Bigr).í
Com os valores acima obtém-se
L\approx1{,}86312\quad(\text{aproximado}).
Portanto o comprimento da curva é aproximadamente 1{,}86312. (Se na prova pedirem 3 casas decimais, escreva L\approx1{,}863.)

Passo 5

Agora a reparametrização por comprimento de arco. Conceito e fórmula prática:
Defina a função comprimento acumulado (a partir de t=0):
s(t)=\int_{0}^{t}\lVert r'(u)\rVert\,du=\int_{0}^{t}\sqrt{1+4u^{2}+9u^{4}}\,du.
Esta função s(t) é contínua, estritamente crescente (porque \lVert r'(u)\rVert>0 para todo u) e satisfaz s(0)=0 e s(1)=L. Logo existe a inversa t=t(s) definida para s\in[0,L].
A reparametrização por comprimento é então
\widetilde{r}(s)=r\bigl(t(s)\bigr)=\bigl(t(s),\;t(s)^{2},\;t(s)^{3}\bigr),\qquad s\in[0,L],
onde t(s) é a função inversa da integral mostrada acima, ou seja, a solução de
s=\int_{0}^{t(s)}\sqrt{1+4u^{2}+9u^{4}}\,du.
Propriedade útil (para a prova): a derivada em s tem norma 1, porque
\frac{d\widetilde{r}}{ds}=\frac{dr}{dt}\cdot\frac{dt}{ds}=\frac{r'(t)}{\lVert r'(t)\rVert},
ou seja, a velocidade fica unitária.

Passo 6

Como extra (muito útil na prova se pedirem uma aproximação ou expansão perto de s=0): série de Taylor para s(t) e inversão aproximada.
Expanda a raiz para pequenos t:
\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}=1+2t^{2}+\frac{5}{2}t^{4}+O(t^{6}).
Integrando termo a termo de 0 a t:
s(t)=t+\frac{2}{3}t^{3}+\frac{1}{2}t^{5}+O(t^{7}).
Invertendo essa série (pode fazer por substituição ou Lagrange), obtemos
t(s)=s-\frac{2}{3}s^{3}+O(s^{5}).
Então, para s pequeno, uma reparametrização aproximada é
\widetilde{r}(s)\approx\bigl(s-\tfrac{2}{3}s^{3},\; (s-\tfrac{2}{3}s^{3})^{2},\;(s-\tfrac{2}{3}s^{3})^{3}\bigr),
o que é prático para cálculos locais sem resolver a integral. Para valores maiores de s pode-se obter t(s) numericamente (por exemplo resolvendo a equação s=\int_{0}^{t}\sqrt{1+4u^{2}+9u^{4}}\,du por Newton).

Resposta

L=\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}\,dt\approx1{,}86312
\widetilde{r}(s)=\bigl(t(s),\;t(s)^{2},\;t(s)^{3}\bigr),\quad\text{onde }s=\displaystyle\int_{0}^{t(s)}\sqrt{1+4u^{2}+9u^{4}}\,du.

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