Considere a curva
.
a) Encontre o comprimento da curva.
b) Reparametrize a curva em função do comprimento de arco.
a) Encontre o comprimento da curva.
b) Reparametrize a curva em função do comprimento de arco.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede duas coisas:
- (a) encontrar o comprimento da curva (ou seja, o comprimento do arco quando
varia de a ); - (b) reparametrizar a curva em função do comprimento de arco (ou seja, produzir uma parametrização por comprimento
, com em ).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A curva está dada explicitamente em termos de
. - O intervalo de parâmetro é
. - Para obter o comprimento e a reparametrização por comprimento precisamos da derivada
e da sua norma .
Passo 2
Regra básica (rápida aula): se
é uma curva regular e suave em
, o comprimento do arco entre
e
é
onde
é a norma euclidiana do vetor derivada. Aqui cada passo:
- Primeiro calcule
. - Depois calcule
. - Por fim integre de
a .
Calculemos
:
A norma é
Portanto o comprimento
pedido em (a) é
Passo 3
Vamos estudar a integral para ver se dá para obter uma expressão elementar e, se não, como prosseguir.
Observação algebraica útil: o polinômio dentro da raiz pode ser escrito como
ou também
Nenhuma dessas formas transforma a raiz numa quadratura imediata simples do tipo
. Isso indica que a primitiva não é uma função elementar simples (aparece, em geral, primitiva em termos de integrais elípticas). Logo não esperamos um antiderivado elementar bonito para
.
Quando a primitiva não é elementar, duas coisas práticas podemos fazer:
- trabalhar com a expressão integral exata e, para reparametrização, definir
via integral e inverter implicitamente; ou - avaliar numericamente a integral para um valor numérico do comprimento, usando um método numérico (Simpson, por exemplo). Na prova pode ser aceitável deixar como integral se for pedido simbólico; se for pedido valor numérico, aplicar uma regra de integração numérica.
Aqui vou obter um valor numérico razoavelmente preciso para
e depois dar a reparametrização por comprimento na forma adequada (implícita) e também uma aproximação em série útil para trabalhar na prova sem calculadora.
Passo 4
Avaliação numérica do comprimento por uma regra compósita de Simpson (explico para que possa repetir na prova com poucos pontos se precisar).
Defina
. Vamos aproximar
Faço Simpson com
subintervalos (h =
). Calculei os valores (mostro os resultados arredondados que você pode recalcular na prova):
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Aplicando a fórmula de Simpson compósita:
Com os valores acima obtém-se
Portanto o comprimento da curva é aproximadamente
. (Se na prova pedirem 3 casas decimais, escreva
.)
Passo 5
Agora a reparametrização por comprimento de arco. Conceito e fórmula prática:
Defina a função comprimento acumulado (a partir de
):
Esta função
é contínua, estritamente crescente (porque
para todo
) e satisfaz
e
. Logo existe a inversa
definida para
.
A reparametrização por comprimento é então
onde
é a função inversa da integral mostrada acima, ou seja, a solução de
Propriedade útil (para a prova): a derivada em
tem norma
, porque
ou seja, a velocidade fica unitária.
Passo 6
Como extra (muito útil na prova se pedirem uma aproximação ou expansão perto de
): série de Taylor para
e inversão aproximada.
Expanda a raiz para pequenos
:
Integrando termo a termo de
a
:
Invertendo essa série (pode fazer por substituição ou Lagrange), obtemos
Então, para
pequeno, uma reparametrização aproximada é
o que é prático para cálculos locais sem resolver a integral. Para valores maiores de
pode-se obter
numericamente (por exemplo resolvendo a equação
por Newton).