Seja \r \vec{r}(t)=\left(t^{2}, \sin t, e^{t}\right)\r e \r f(x, y, z)=x y z\r. Determine \r \frac{d}{d t}[f(\vec{r}(t))]\r.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{r}(t) = \bigl(t^2,\;\sin t,\;e^{t}\bigr)
e a função escalar f(x,y,z)=x\,y\,z.
Pede-se \frac{d}{dt}\bigl[f(\vec{r}(t))\bigr].
O conteúdo principal é a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
\frac{d}{dt}f\bigl(\vec{r}(t)\bigr) =\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} +\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} +\frac{\partial f}{\partial z}\,\frac{dz}{dt}.

Passo 2

Primeiro escrevemos f(\vec{r}(t)) explicitamente, usando \;x=t^2,\;y=\sin t,\;z=e^t:
f\bigl(\vec{r}(t)\bigr) =(t^2)\,(\sin t)\,(e^t) = t^2\,\sin t\,e^t.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=y\,z,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=x\,z,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=x\,y.
E as derivadas de cada componente de \vec{r}(t):
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(t^2)=2t,\quad \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(\sin t)=\cos t,\quad \frac{dz}{dt}=\frac{d}{dt}(e^t)=e^t.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}f\bigl(\vec{r}(t)\bigr) =y\,z\cdot2t \;+\; x\,z\cdot\cos t\;+\;x\,y\cdot e^t.
Substituindo x=t^2, y=\sin t, z=e^t:
\frac{d}{dt}f\bigl(\vec{r}(t)\bigr) = (\sin t)(e^t)\,2t +\bigl(t^2\bigr)(e^t)\cos t +\bigl(t^2\bigr)(\sin t)\,e^t.

Passo 5

Fatorando e^t:
\frac{d}{dt}f\bigl(\vec{r}(t)\bigr) = e^t\Bigl(2t\,\sin t + t^2\cos t + t^2\sin t\Bigr).

Resposta

\frac{d}{dt}\bigl[f(\vec{r}(t))\bigr] = e^t\bigl(2t\,\sin t + t^2\cos t + t^2\sin t\bigr).

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