Seja \r \vec{r}(t)=(t, \sin t)\r e \r f(x, y)=\arctan (y / x)\r. Determine \r \frac{d}{d t}[f(\vec{r}(t))]\r.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada \vec r(t)=(t,\sin t) e a função de duas variáveis
f(x,y)=\arctan\!\bigl(\tfrac yx\bigr).
Queremos calcular a derivada do composto t\mapsto f\bigl(\vec r(t)\bigr). O conteúdo usado será a regra da cadeia para funções de várias variáveis, envolvendo derivadas parciais de f.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de
f(x,y)=\arctan\!\bigl(\tfrac yx\bigr).
Defina u=y/x. Então f(x,y)=\arctan(u) e
\frac{\partial f}{\partial u}=\frac1{1+u^2}.
Além disso,
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac yx\Bigr)=-\frac y{x^2}, \quad \frac{\partial u}{\partial y}=\frac1x.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial f}{\partial u}\,\frac{\partial u}{\partial x} =\frac1{1+(y/x)^2}\Bigl(-\frac y{x^2}\Bigr) =-\frac{y}{x^2+y^2},
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial f}{\partial u}\,\frac{\partial u}{\partial y} =\frac1{1+(y/x)^2}\,\frac1x =\frac{x}{x^2+y^2}.

Passo 3

Aplique a regra da cadeia para o composto f(\vec r(t)):
\frac{d}{dt}\bigl[f(\vec r(t))\bigr] =\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,x'(t) +\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,y'(t).

Passo 4

Substituindo x(t)=t, y(t)=\sin t, x'(t)=1 e y'(t)=\cos t nas parciais, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(t,\sin t\bigr) =-\frac{\sin t}{t^2+\sin^2 t}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}\bigl(t,\sin t\bigr) =\frac{t}{t^2+\sin^2 t}.
Logo
\frac{d}{dt}[f(\vec r(t))] =-\frac{\sin t}{t^2+\sin^2 t}\cdot1 +\frac{t}{t^2+\sin^2 t}\cdot\cos t.

Passo 5

Juntando termos sobre o mesmo denominador,
\frac{d}{dt}[f(\vec r(t))] =\frac{-\sin t + t\cos t}{t^2 + \sin^2 t}.

Resposta

\frac{d}{dt}\bigl[f(\vec r(t))\bigr] =\frac{-\sin t + t\cos t}{t^2 + \sin^2 t}.

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