Sejam \r \vec{r}(t)=\left(3 t^{2}+2 t, 9 t^{4}+12 t^{3}+4 t^{2}\right)\r e \r f(t)=\exp \left(-\frac{1}{1+t^{2}}\right)\r. Calcule \r \frac{d}{d t} \vec{r}(f(t))\r.

Passo 1

O enunciado dá a curva vetor \vec r(t) = \bigl(3t^2 + 2t,\;9t^4 + 12t^3 + 4t^2\bigr)
e a função escalar
f(t) = \exp\!\Bigl(-\tfrac{1}{1+t^2}\Bigr).
Queremos calcular \dfrac{d}{dt}\,\vec r\bigl(f(t)\bigr).
Para isso usaremos a regra da cadeia para funções vetoriais compostas.

Passo 2

Defina u = f(t). Primeiro computamos a derivada de \vec r em relação a u.
\vec r(u) = \bigl(3u^2 + 2u,\;9u^4 + 12u^3 + 4u^2\bigr),
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\frac{d\vec r}{du} = \Bigl(\,6u + 2,\;36u^3 + 36u^2 + 8u\Bigr).

Passo 3

Agora derivamos f(t).
f(t) = \exp\!\Bigl(-\tfrac1{1+t^2}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad f'(t) = \exp\!\Bigl(-\tfrac1{1+t^2}\Bigr)\;\frac{d}{dt}\Bigl(-\tfrac1{1+t^2}\Bigr) = f(t)\,\frac{2t}{(1+t^2)^2}.

Passo 4

Pela regra da cadeia para vetores,
\frac{d}{dt}\,\vec r\bigl(f(t)\bigr) = \frac{d\vec r}{du}\Bigl|_{u = f(t)}\;\cdot\;f'(t).
Substituindo:
\frac{d}{dt}\,\vec r\bigl(f(t)\bigr) = \Bigl(6\,f(t)+2,\;36\,f(t)^3+36\,f(t)^2+8\,f(t)\Bigr)\;\times\;f'(t).

Resposta

\frac{d}{dt}\,\vec r\bigl(f(t)\bigr) = \Bigl(6f(t)+2,\;36f(t)^3+36f(t)^2+8f(t)\Bigr)\;f(t)\,\frac{2t}{(1+t^2)^2}.

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