Seja r=r r o vetor posição de uma partícula em coordenadas polares. Encontre as expressões da velocidade e aceleração nesse sistema de coordenadas.

Passo 1

Beleza, o exercício diz: “Seja o vetor posição em coordenadas polares. Ache a velocidade e a aceleração nesse sistema.”
Conteúdo: derivadas de vetores em coordenadas polares.
O que precisamos:
  1. Reconhecer que e mudam de direção com o tempo.
  2. Saber as derivadas
    e .
  3. Usar regra do produto ao derivar .

Passo 2

Vamos achar a velocidade:
vec v = dot r,hat r + r,dhat rdt .
Usando a regra do produto:
boxedvec v = dot r,hat r ;+; r,dottheta,hattheta
Sabendo que , fica

Passo 3

Agora a aceleração:
vec a = underbraceddot r,hat r(1) + underbracedot r,dottheta,hattheta(1) + underbrace(dot r,dottheta + r,ddottheta),hattheta(2a) + underbracer,dottheta,(-dottheta,hat r)(2b)
De novo, separamos cada termo:
    • E
      Juntando tudo:
Agora agrupa em e :
  • Em : .
  • Em : .

Resposta

Velocidade:
boxedvec v = dot r,hat r + r,dottheta,hattheta
Aceleração:
boxedvec a = l(ddot r - r,dottheta^2r)hat r ;+;l(2,dot r,dottheta + r,ddotthetar)hattheta

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