Seja o vetor posição de uma partícula em coordenadas polares. Encontre as expressões da velocidade e aceleração nesse sistema de coordenadas.
Passo 1
Beleza, o exercício diz: “Seja o vetor posição em coordenadas polares. Ache a velocidade e a aceleração nesse sistema.”
Conteúdo: derivadas de vetores em coordenadas polares.
O que precisamos:
Reconhecer que e mudam de direção com o tempo.
Saber as derivadas e .
Usar regra do produto ao derivar .
Passo 2
Vamos achar a velocidade: .
Usando a regra do produto:
Sabendo que , fica
Passo 3
Agora a aceleração:
De novo, separamos cada termo:
E
Juntando tudo:
Agora agrupa em e :
Em : .
Em : .
Resposta
Velocidade:
boxedvec v = dot r,hat r + r,dottheta,hattheta
Aceleração:
boxedvec a = l(ddot r - r,dottheta^2r)hat r ;+;l(2,dot r,dottheta + r,ddotthetar)hattheta