A massa molecular do oxigênio vale
, a do argônio vale
e a do hélio vale
.
53. Calcule a velocidade quadrática média de um átomo de argônio à temperatura ambiente (
). A que temperatura a velocidade quadrática média do átomo será reduzida à metade desse valor? Em que temperatura ela será o dobro?
53. Calcule a velocidade quadrática média de um átomo de argônio à temperatura ambiente (
Passo 1
O enunciado dá as massas molares e pede três coisas sobre o átomo de argônio:
- Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
- Massa molar do argônio:
. - Temperatura ambiente:
.
- Massa molar do argônio:
- Perguntas que o enunciado faz:
- Calcular a velocidade quadrática média (velocidade rms) de um átomo de argônio à temperatura
. - Determinar a que temperatura a velocidade rms será reduzida à metade desse valor.
- Determinar a que temperatura a velocidade rms será o dobro desse valor.
- Calcular a velocidade quadrática média (velocidade rms) de um átomo de argônio à temperatura
Passo 2
Qual fórmula usar e por quê (aula curta e intuitiva).
- A velocidade quadrática média (velocidade rms) de partículas de um gás ideal é dada pela relação da teoria cinética:
onde:
-
é a velocidade quadrática média (m/s); -
é a constante de Boltzmann (J/K); -
é a temperatura absoluta em kelvin (K); -
é a massa da partícula em quilogramas (kg). - Como frequentemente trabalhamos com massas molares em vez de massa por átomo, é mais prático usar a forma com a constante dos gases
:
onde:
-
é a constante universal dos gases ; -
é a massa molar em kg/mol. - Explicação do porquê:
e , portanto a forma com é equivalente e usa diretamente .
Passo 3
Preparar os valores numéricos e unidades (conversões necessárias).
- Converter a massa molar de argônio para kg/mol (peguei
do enunciado):
- Converter a temperatura de
para kelvin:
- Anotar
.
Passo 4
Calcular a velocidade quadrática média em
.
- Usar a fórmula com
:
- Calcular passo a passo os termos internos (faço as contas de forma a ser possível acompanhar sem pular etapas):
- Primeiro
:
Calculei (multiplicação direta) e então - Agora dividir por
:
- Finalmente, a raiz quadrada:
- Primeiro
- Interpretação rápida: esse valor significa que, em média quadrática, átomos de argônio movem-se a cerca de
à temperatura ambiente. Pode soar rápido, mas são átomos leves e a temperatura fornece muita energia térmica a nível microscópico.
Passo 5
Relação entre velocidade rms e temperatura: como encontrar temperaturas que alteram a velocidade por um fator.
- Observação importante da fórmula: como
, para massa molar fixa (argônio) tem-se
- Dessa proporcionalidade, se queremos uma nova velocidade
relacionada a por um fator, a relação entre temperaturas é:
- Essa fórmula é prática: basta elevar ao quadrado o fator de mudança de velocidade e multiplicar pela temperatura inicial.
Passo 6
Temperatura para reduzir a velocidade à metade.
- Queremos
. Aplicando a relação:
- Calcular numericamente com
:
- Se desejar a temperatura em graus Celsius:
Passo 7
Temperatura para dobrar a velocidade.
- Queremos
. Aplicando a relação:
- Calcular numericamente:
- Em graus Celsius:
Passo 8
Resumo físico e incentivo (rapidinho).
- Resultado: à temperatura ambiente o átomo de argônio tem velocidade rms da ordem de algumas centenas de metros por segundo.
- Observação prática: reduzir a velocidade média à metade exige esfriar muito (para temperaturas criogênicas), enquanto dobrar a velocidade exige aquecer a temperaturas muito altas.
- Bom trabalho! Isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai em prova: identificar a fórmula correta, fazer as conversões de unidades com cuidado e usar a proporcionalidade
.