Seja R a região delimitada pela curva y=raiz4-x e pelas retas 3 y=x e y=0.
Calcule o volume do solido obtido pela rotação da região R em torno da reta y=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a região R delimitada por
,y=raiz4-x,
3y=x (ou seja x=3y)
e
y=0,
e pede o volume do sólido obtido ao girar R em torno da reta y=1.
O conteúdo aqui é o método das cascas cilíndricas para volumes de revolução em torno de reta horizontal.

Passo 2

Precisamos achar os limites em y. As curvas y=raiz4-x e x=3y se intersectam quando
y = raiz4 - 3y,Longrightarrow,y^2 + 3y - 4 = 0
As raízes são y=1 e y=-4, desprezamos y=-4 pois estamos acima de y=0.
Além disso a reta y=0 dá o limite inferior.
Logo y varia de 0 a 1.
Para cada y entre esses valores, x vai de
xrm esq=3y até xrm dir=4-y^2 é

Passo 3

Usando cascas cilíndricas:
– Raio da casca:
r = |1 - y| = 1 - y(yin[0,1])
– Altura da casca:
h = xrm dir - xrm esq = (4 - y^2) - 3y = 4 - 3y - y^2
A fórmula do volume é
V = integraly=0^1 2pi,r,h,dy = 2pi integral0^1 (1 - y),(4 - 3y - y^2),dy

Passo 4

Expandindo o produto:
(1 - y)(4 - 3y - y^2) = 4 - 7y + 2y^2 + y^3
Logo
V = 2pi integral0^1 l(y^3 + 2y^2 -7y +4r),dy
Integramos termo a termo:
integral0^1 y^3,dy = tfrac14, integral0^1 2y^2,dy = tfrac23, integral0^1(-7y),dy = -tfrac72, integral0^14,dy = 4
Somando:
tfrac14 + tfrac23 - tfrac72 + 4 = tfrac1712
Portanto
V = 2pi cdot tfrac1712 = tfrac17pi6

Resposta

17pi6

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