Usando a definição, mostrar que f(x, y)=1x^5 y^3 tem derivadas parciais na origem, valendo
partial fpartial x(0,0)=0 e partial fpartial y(0,0)=0

Passo 1

O enunciado define a função
fcolonR^2toR, f(x,y)=x^5,y^3
com a convenção usual de que f(0,0)=0.
Queremos mostrar, usando a definição de derivada parcial, que
partial fpartial x(0,0)=0 e partial fpartial y(0,0)=0

Passo 2

Para a derivada parcial em x na origem usamos
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(0+h,0)-f(0,0)h =limhto0h^5cdot0^3-0h =limhto00h =0

Passo 3

Para a derivada parcial em y na origem usamos
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,0+h)-f(0,0)h =limhto00^5cdot h^3-0h =limhto00h =0

Resposta

partial fpartial x(0,0)=0 e partial fpartial y(0,0)=0

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