Seja D a região delimitada pelos gráficos das equações y=raizx, y=raiz3 x-18 e y=0. Se f é uma função contínua arbitrária em D, expresse a integral dupla integral duplaD f(x, y) d A em termos de integrais iteradas utilizando apenas: (a) Teorema 1; (b) Teorema 2.

Passo 1

O enunciado pede expressar a integral dupla integral duplaD f(x,y),dA em integrais iteradas usando dois teoremas de Fubini. O conteúdo envolve: entender a região D delimitada pelas curvas y=raizx, y=raiz3x-18 e y=0, calcular as interseções, esboçar o domínio e montar as integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro identificamos os pontos de interseção das curvas:
  • Entre y=raizx e y=0 ocorre em (0,0).
  • Entre y=raiz3x-18 e y=0 ocorre em (6,0) pois 3x-18=0Rightarrow x=6.
  • Entre y=raizx e y=raiz3x-18 temos
raizx=raiz3x-18Rightarrow x=9,;y=3

Passo 3

Portanto D é o domínio fechado com vértices (0,0), (6,0), (9,3), onde o arco superior é y=raizx, o arco inferior é y=0 para 0<= x<=6 e y=raiz3x-18 para 6<= x<=9.

Passo 4

Usando o Teorema 1 (faixas verticais, ou seja, integramos primeiro em y e depois em x),paramos o domínio em duas faixas em x:
para 0<= x<=6 vale
0<= y<=raizx,
e para 6<= x<=9 vale
raiz3x-18<= y<=raizx

Passo 5

Logo
$$\iint_D f(x,y),dA = \int_{0}{6}\Bigl(\int_{0}{\sqrt{x}}f(x,y),dy\Bigr)dx ;+
\int_{6}{9}\Bigl(\int_{\sqrt{3x-18}}{\sqrt{x}}f(x,y),dy\Bigr)dx.$$

Passo 6

Usando o Teorema 2 (faixas horizontais, ou seja, integramos primeiro em x e depois em y),observamos que y varia de 0 a 3 e, para cada y, a projeção em x vai de
x=y^2(curva y=raizx)
até
x=y^2+183(curva y=raiz3x-18)

Passo 7

Logo
integral duplaD f(x,y),dA = integral0^3l(integraly^2^y^2+183f(x,y),dxr)dy

Resposta

(a) Pelo Teorema 1:
integral duplaD f(x,y),dA = integral0^6integral0^raizxf(x,y),dy,dx + integral6^9integralraiz3x-18^raizxf(x,y),dy,dx
(b) Pelo Teorema 2:
integral duplaD f(x,y),dA = integral0^3integraly^2^y^2+183f(x,y),dx,dy

Exercícios relacionados