Seja
a região delimitada pelos gráficos das equações
e
. Se
é uma função contínua arbitrária em
, expresse a integral dupla
em termos de integrais iteradas utilizando apenas: (a) Teorema 1; (b) Teorema 2.
Passo 1
O enunciado pede expressar a integral dupla
em integrais iteradas usando dois teoremas de Fubini. O conteúdo envolve: entender a região
delimitada pelas curvas
,
e
, calcular as interseções, esboçar o domínio e montar as integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro identificamos os pontos de interseção das curvas:
- Entre
e ocorre em . - Entre
e ocorre em pois . - Entre
e temos
Passo 3
Portanto
é o domínio fechado com vértices
,
,
, onde o arco superior é
, o arco inferior é
para
e
para
.
Passo 4
Usando o Teorema 1 (faixas verticais, ou seja, integramos primeiro em
e depois em
),paramos o domínio em duas faixas em
:
para vale
para
e para
Passo 5
Logo
$$\iint_D f(x,y),dA = \int_{0}{6}\Bigl(\int_{0}{\sqrt{x}}f(x,y),dy\Bigr)dx ;+
\int_{6}{9}\Bigl(\int_{\sqrt{3x-18}}{\sqrt{x}}f(x,y),dy\Bigr)dx.$$
Passo 6
Usando o Teorema 2 (faixas horizontais, ou seja, integramos primeiro em
e depois em
),observamos que
varia de 0 a 3 e, para cada
, a projeção em
vai de
até
Passo 7
Logo
Resposta
(a) Pelo Teorema 1:
(b) Pelo Teorema 2: