Para quais valores de
a série
converge?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores de
tais que a série
converge. O conteúdo principal é o teste da integral para séries, e vamos precisar usar a função
.
Passo 2
Para aplicar o teste da integral, precisamos que
seja positiva, contínua e decrescente em
. Observamos que para
,
e
, então
. Também é possível mostrar que
decresce para
. Portanto, podemos usar o teste da integral.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria correspondente
. Fazemos a substituição
, de modo que
e
. Assim:
Passo 4
Analisamos a convergência de
. Se
, então
e o fator
decai exponencialmente, garantindo convergência. Se
, a integral vira
, que diverge logaritmicamente. Se
, o integrando cresce exponencialmente e também diverge.
Passo 5
Pelo teste da integral, a série
converge se e somente se a integral associada converge, ou seja, para
.
Resposta
A série converge para
.