Para quais valores de p a série sumn=2^infty 1 /(n^p ln n) converge?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de p tais que a série sumn=2^infty1n^pln n converge. O conteúdo principal é o teste da integral para séries, e vamos precisar usar a função f(x)=1x^pln x.

Passo 2

Para aplicar o teste da integral, precisamos que f(x) seja positiva, contínua e decrescente em [2,infty). Observamos que para x>1, ln x>0 e x^p>0, então f(x)>0. Também é possível mostrar que f decresce para x>=2. Portanto, podemos usar o teste da integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria correspondente integral2^inftydxx^pln x. Fazemos a substituição t=ln x, de modo que x=e^t e dx=e^tdt. Assim:
integral2^inftydxx^pln x = integralln2^inftye^tdte^ptt = integralln2^inftye^-(p-1)tt,dt

Passo 4

Analisamos a convergência de integralln2^inftye^-(p-1)tt,dt. Se p>1, então p-1>0 e o fator e^-(p-1)t decai exponencialmente, garantindo convergência. Se p=1, a integral vira integralln2^inftydtt, que diverge logaritmicamente. Se p<1, o integrando cresce exponencialmente e também diverge.

Passo 5

Pelo teste da integral, a série sumn=2^infty1n^pln n converge se e somente se a integral associada converge, ou seja, para p>1.

Resposta

A série converge para p>1.

Exercícios relacionados