Determinar o polinômio de Taylor de ordem 4 da função f(x)=e^x no ponto c=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o polinômio de Taylor de ordem 4 (ou Maclaurin, pois c=0) para f(x)=e^x. Esse conteúdo envolve séries de Taylor, em que precisamos conhecer a definição do polinômio e calcular derivadas de f até a ordem desejada.

Passo 2

Para usar a fórmula de Taylor precisamos dos valores das derivadas f^{(k)}(x) em x=0, para k=0,1,2,3,4. Como f(x)=e^x, todas as derivadas são iguais a e^x. Portanto, para qualquer k temos f{(k)}(x)=ex.

Passo 3

Avaliando em x=0 encontramos f(0)=e^0=1, f’(0)=1, f’’(0)=1, f’’’(0)=1 e f^{(4)}(0)=1.

Passo 4

A definição do polinômio de Taylor de ordem 4 em torno de c=0 é
P4(x)=sumk=0^4f^(k)(0)k!,x^k
Substituindo os valores das derivadas, cada f^{(k)}(0)=1, obtemos
P4(x)=sumk=0^41k!x^k

Passo 5

Bastou escrever termo a termo para k=0,1,2,3,4 e simplificar os fatoriais. Isso dá o polinômio de Taylor pedido.

Resposta

P4(x)=1 + x + x^22 + x^36 + x^424

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