Seja R a região limitada pela curva y=14 x^2, o eixo x e as retas x=1 e x=4.
Obtenha o volume do sólido obtido quando a região R é rotacionada ao redor do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região R que está limitada pela curva y = 14x^2 , pelo eixo x , e pelas retas verticais x = 1 e x = 4 . O desafio é descobrir qual é o volume do sólido que a gente consegue quando gira essa região R em torno do eixo y . Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos cilindros (ou método das cascas cilíndricas), que é uma forma maneira de calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método dos cilindros. Imagine que a região R vai se transformar em muitos cilindros fininhos quando giramos em torno do eixo y . Cada cilindro tem uma altura que depende da função y = 14x^2 e uma “espessura” que é uma pequena variação em x , chamada De<a x . Para encontrar o volume total, a gente integra essas pequenas contribuições de volume de x = 1 até x = 4 .

Passo 3

A fórmula do método dos cilindros é:
V = 2pi integrala^b x cdot f(x) , dx
Aqui, x é a distância do cilindro ao eixo de rotação (eixo y ), f(x) é a altura do cilindro, e a e b são os limites de integração, que no nosso caso são 1 e 4.

Passo 4

Vamos substituir f(x) pela função dada 14x^2 :
V = 2pi integral1^4 x cdot 14x^2 , dx
Simplificando a expressão:
V = pi2 integral1^4 x^3 , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral x^3 , dx . A antiderivada de x^3 é 14x^4 . Então:
V = pi2 [ 14x^4 ]1^4

Passo 6

Vamos calcular os valores de 14x^4 para x = 4 e x = 1 :
14(4)^4 = 14(256) = 64
14(1)^4 = 14(1) = 0,25
Subtraindo:
64 - 0,25 = 63,75

Passo 7

Multiplicando pelo fator pi2 :
V = pi2 times 63,75 = 31,875pi

Resposta

O volume do sólido é 31,!875,pi unidades cúbicas.

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