Seja
a região limitada pela curva
, o eixo x e as retas
e
.
Obtenha o volume do sólido obtido quando a região
é rotacionada ao redor do eixo
.
Obtenha o volume do sólido obtido quando a região
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma região
que está limitada pela curva
, pelo eixo
, e pelas retas verticais
e
. O desafio é descobrir qual é o volume do sólido que a gente consegue quando gira essa região
em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos cilindros (ou método das cascas cilíndricas), que é uma forma maneira de calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos cilindros. Imagine que a região
vai se transformar em muitos cilindros fininhos quando giramos em torno do eixo
. Cada cilindro tem uma altura que depende da função
e uma “espessura” que é uma pequena variação em
, chamada
. Para encontrar o volume total, a gente integra essas pequenas contribuições de volume de
até
.
Passo 3
A fórmula do método dos cilindros é:
Aqui,
é a distância do cilindro ao eixo de rotação (eixo
),
é a altura do cilindro, e
e
são os limites de integração, que no nosso caso são 1 e 4.
Passo 4
Vamos substituir
pela função dada
:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
. A antiderivada de
é
. Então:
Passo 6
Vamos calcular os valores de
para
e
:
Subtraindo:
Passo 7
Multiplicando pelo fator
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.