Ache a transformada de Laplace das seguintes funções:
b) f(t)=lrt, & t<2 2, & t>2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função em duas partes:
f(t)= t, & 0<= t<2, 2, & t>2
O conteúdo aqui envolve a definição da transformada de Laplace e a representação em termos da função degrau unitário u(t-2).

Passo 2

Reescrevemos f(t) usando a função degrau u(t-2). Note que para t<2 temos u(t-2)=0 e para t>2 temos u(t-2)=1. Assim
f(t)=tl(1-u(t-2)r)+2,u(t-2)

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace,
Lf(t) =Lt-Lt,u(t-2)+L2,u(t-2)
E sabemos que
Lt=1s^2

Passo 4

Para Lt,u(t-2) usamos o segundo teorema do deslocamento. Escrevemos t=(t-2)+2 quando t>=2, logo
t,u(t-2)=l[(t-2)+2r],u(t-2)
Assim
Lt,u(t-2) =e^-2s,L(t-2)+2 =e^-2sl(1s^2+2sr)

Passo 5

Para L2,u(t-2) aplicamos diretamente o deslocamento:
L2,u(t-2) =2,e^-2s,1s =2,e^-2ss

Passo 6

Reunindo tudo:
Lf(t) =1s^2 -e^-2sl(1s^2+2sr) +2,e^-2ss =1s^2-e^-2ss^2 =1-e^-2ss^2

Resposta

boxedLf(t)=1-e^-2ss^2

Exercícios relacionados