Resolva a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, vamos usar técnicas de decomposição em frações simples, que é uma parte da matéria de cálculo integral. Para isso, precisamos separar a fração em partes mais simples que sejam mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração
como uma soma de frações mais simples. Ou seja, queremos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 3
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Expandindo o lado direito:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos lados esquerdo e direito da equação:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 6
Resolvendo a segunda equação para
:
Agora, substituímos
na primeira equação para encontrar
:
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos reescrever a integral original como:
Passo 8
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 9
Integrando a primeira parte:
Para a segunda parte, fazemos uma substituição simples. Deixe
, então
, ou seja,
.
Passo 10
Substituindo na segunda integral:
Substituindo
:
Passo 11
Juntando as duas integrais e somando as constantes
e
em uma constante geral
:
Resposta
A integral resolvida é: