Resolva a integral
integral 1+u^2u(u^2+2) du

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 1 + u^2u(u^2+2) du. Aqui, vamos usar técnicas de decomposição em frações simples, que é uma parte da matéria de cálculo integral. Para isso, precisamos separar a fração em partes mais simples que sejam mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração 1 + u^2u(u^2+2) como uma soma de frações mais simples. Ou seja, queremos encontrar constantes A e B tais que:
1 + u^2u(u^2+2) = Au + B uu^2 + 2

Passo 3

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por u(u^2+2) para eliminar os denominadores:
1 + u^2 = A(u^2+2) + B u^2

Passo 4

Expandindo o lado direito:
1 + u^2 = A u^2 + 2A + B u^2
Juntando os termos semelhantes:
1 + u^2 = (A + B) u^2 + 2A

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos lados esquerdo e direito da equação:
Para u^2:
1 = A + B
Para o termo constante:
1 = 2A

Passo 6

Resolvendo a segunda equação para A:
2A = 1 Rightarrow A = 12
Agora, substituímos A na primeira equação para encontrar B:
1 = 12 + B Rightarrow B = 12

Passo 7

Agora que temos A = 12 e B = 12, podemos reescrever a integral original como:
integral ( 1/2u + (1/2)uu^2 + 2 ) du

Passo 8

Vamos separar a integral em duas partes:
12 integral 1u du + 12 integral uu^2 + 2 du

Passo 9

Integrando a primeira parte:
12 integral 1u du = 12 ln|u| + C1
Para a segunda parte, fazemos uma substituição simples. Deixe v = u^2 + 2, então dv = 2u du, ou seja, dv2 = u du.

Passo 10

Substituindo na segunda integral:
12 integral uu^2 + 2 du = 12 cdot 12 integral 1v dv = 14 ln|v| + C2
Substituindo v = u^2 + 2:
14 ln|u^2 + 2|

Passo 11

Juntando as duas integrais e somando as constantes C1 e C2 em uma constante geral C:
12 ln|u| + 14 ln|u^2 + 2| + C

Resposta

A integral resolvida é:
12 ln|u| + 14 ln|u^2 + 2| + C

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