Seja E a região do localizada no 1^{\circ} octante que está simultaneamente acima da superficie z^{2}=x^{2}+y^{2}, dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=25.
Se
Calcule
\iiint_{E} f(x, y, z) d V
Passo 1
O enunciado nos dá a região E e pede o cálculo de
\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV.
Informações fornecidas:
E está no 1^{\circ} octante, ou seja, em x\ge 0,\;y\ge 0,\;z\ge 0.
E é a parte que está simultaneamente acima da superfície \;z^{2}=x^{2}+y^{2}\; e dentro da esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=25.
Observação importante: o enunciado não especificou a função f(x,y,z). Portanto não é possível dar um número final sem escolher f. O que posso fazer (e vou fazer) é:
descrever bem a região E;
montar o integral triplo de f sobre E em coordenadas apropriadas (forma pronta para avaliar quando f for dada);
mostrar uma alternativa de montagem (outra escolha de coordenadas) e dar exemplos calculados para funções simples (ex.: f\equiv1 e f=z) para ilustrar como avaliar na prova.
Passo 2
Escolha de coordenadas e noções básicas (aula rápida e calma).
Coordenadas esféricas: cada ponto é dado por \rho (distância à origem), \varphi (ângulo com o eixo z, isto é, polar) e \theta (ângulo no plano xy, azimutal). As relações são
Por que esféricas aqui? Porque a fronteira externa é a esfera \rho=5 (fácil) e a superfície z^{2}=x^{2}+y^{2} vira uma condição angular simples (fácil). Isso costuma simplificar muito os limites de integração. Vou também apresentar, depois, a montagem em coordenadas cilíndricas para comparação.
Passo 3
Determinar os limites em esféricas (passo a passo).
Converter a superfície \;z^{2}=x^{2}+y^{2}\; para esféricas. Substituindo,
Interpretando "acima da superfície \;z^{2}=x^{2}+y^{2}\;" no primeiro octante (aqui z\ge0) significa z\ge \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Em termos de \varphi isso corresponde a \cos\varphi\ge\sin\varphi, i.e. \varphi\le \pi/4.
A esfera impõe \rho\le 5.
O 1^{\circ} octante dá \theta variando de 0 a \pi/2 e \varphi não negativa. Assim os limites são:
Montagem do integral em coordenadas esféricas (a forma final para qualquer f).
Escrevendo f em esféricas como f\big(\rho\sin\varphi\cos\theta,\;\rho\sin\varphi\sin\theta,\;\rho\cos\varphi\big) e usando dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta, o integral pedido fica
Essa é a resposta “pronta para avaliar” assim que f for conhecida.
Passo 5
Montagem alternativa em coordenadas cilíndricas (útil em alguns casos).
Coordenadas cilíndricas: x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;z=z e dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
A superfície \;z^{2}=x^{2}+y^{2}\; em cilíndricas é \;z^{2}=r^{2}\;\Rightarrow\;z=r (no primeiro octante, com z\ge0).
A esfera dá r^{2}+z^{2}=25. O plano de interseção cone–esfera obtém r^{2}+r^{2}=25\Rightarrow r=\sqrt{25/2}=5/\sqrt{2}.
Assim os limites: 0\le\theta\le\pi/2, 0\le r\le 5/\sqrt{2}, e para cada r temos z entre z=r (acima do cone) e z=\sqrt{25-r^{2}} (superfície da esfera).