Seja E a região do localizada no 1^{\circ} octante que está simultaneamente acima da superficie z^{2}=x^{2}+y^{2}, dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=25.
Se
Calcule
\iiint_{E} f(x, y, z) d V

Passo 1

O enunciado nos dá a região E e pede o cálculo de
\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV.
Informações fornecidas:
  • E está no 1^{\circ} octante, ou seja, em x\ge 0,\;y\ge 0,\;z\ge 0.
  • E é a parte que está simultaneamente acima da superfície \;z^{2}=x^{2}+y^{2}\; e dentro da esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=25.
    Observação importante: o enunciado não especificou a função f(x,y,z). Portanto não é possível dar um número final sem escolher f. O que posso fazer (e vou fazer) é:
  • descrever bem a região E;
  • montar o integral triplo de f sobre E em coordenadas apropriadas (forma pronta para avaliar quando f for dada);
  • mostrar uma alternativa de montagem (outra escolha de coordenadas) e dar exemplos calculados para funções simples (ex.: f\equiv1 e f=z) para ilustrar como avaliar na prova.

Passo 2

Escolha de coordenadas e noções básicas (aula rápida e calma).
  • Coordenadas esféricas: cada ponto é dado por \rho (distância à origem), \varphi (ângulo com o eixo z, isto é, polar) e \theta (ângulo no plano xy, azimutal). As relações são
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
O elemento de volume em esféricas é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • Por que esféricas aqui? Porque a fronteira externa é a esfera \rho=5 (fácil) e a superfície z^{2}=x^{2}+y^{2} vira uma condição angular simples (fácil). Isso costuma simplificar muito os limites de integração. Vou também apresentar, depois, a montagem em coordenadas cilíndricas para comparação.

Passo 3

Determinar os limites em esféricas (passo a passo).
  • Converter a superfície \;z^{2}=x^{2}+y^{2}\; para esféricas. Substituindo,
(\rho\cos\varphi)^{2} = (\rho\sin\varphi)^{2}\quad\Rightarrow\quad \rho^{2}\cos^{2}\varphi=\rho^{2}\sin^{2}\varphi.
Como \rho>0 (na região interior), cancela \rho^{2} e obtemos
\cos^{2}\varphi=\sin^{2}\varphi \quad\Rightarrow\quad \tan^{2}\varphi=1 \quad\Rightarrow\quad \varphi=\frac{\pi}{4}.
  • Interpretando "acima da superfície \;z^{2}=x^{2}+y^{2}\;" no primeiro octante (aqui z\ge0) significa z\ge \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Em termos de \varphi isso corresponde a \cos\varphi\ge\sin\varphi, i.e. \varphi\le \pi/4.
  • A esfera impõe \rho\le 5.
  • O 1^{\circ} octante dá \theta variando de 0 a \pi/2 e \varphi não negativa. Assim os limites são:
0\le \theta\le \frac{\pi}{2},\qquad 0\le \varphi\le \frac{\pi}{4},\qquad 0\le \rho\le 5.

Passo 4

Montagem do integral em coordenadas esféricas (a forma final para qualquer f).
  • Escrevendo f em esféricas como f\big(\rho\sin\varphi\cos\theta,\;\rho\sin\varphi\sin\theta,\;\rho\cos\varphi\big) e usando dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta, o integral pedido fica
\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\int_{\rho=0}^{5} f\big(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi\big)\,\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Essa é a resposta “pronta para avaliar” assim que f for conhecida.

Passo 5

Montagem alternativa em coordenadas cilíndricas (útil em alguns casos).
  • Coordenadas cilíndricas: x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;z=z e dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
  • A superfície \;z^{2}=x^{2}+y^{2}\; em cilíndricas é \;z^{2}=r^{2}\;\Rightarrow\;z=r (no primeiro octante, com z\ge0).
  • A esfera dá r^{2}+z^{2}=25. O plano de interseção cone–esfera obtém r^{2}+r^{2}=25\Rightarrow r=\sqrt{25/2}=5/\sqrt{2}.
  • Assim os limites: 0\le\theta\le\pi/2, 0\le r\le 5/\sqrt{2}, e para cada r temos z entre z=r (acima do cone) e z=\sqrt{25-r^{2}} (superfície da esfera).
  • O integral em cilíndricas é então
\iiint_{E} f(x,y,z)\,dV = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{5/\sqrt{2}}\int_{z=r}^{\sqrt{25-r^{2}}} f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\;r\,dz\,dr\,d\theta.
Bom ter essa forma à mão se f tiver expressão mais simples em z,r,\theta.

Passo 6

Exemplos de avaliação (para ver como proceder na prova). Vou calcular dois exemplos simples para mostrar o passo a passo.
Exemplo A — volume de E (caso f\equiv1). Usando esféricas:
V(E)=\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{5}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Integramos em \rho:
\int_{0}^{5}\rho^{2}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{3}}{3}\right|_{0}^{5}=\frac{125}{3}.
Logo
V(E)=\frac{125}{3}\int_{0}^{\pi/2}d\theta\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi.
Integramos \varphi:
\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi = \left.-\cos\varphi\right|_{0}^{\pi/4}=1-\frac{\sqrt{2}}{2}.
E \theta \pi/2. Assim
V(E)=\frac{125}{3}\cdot\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =\frac{125\pi}{6}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =\frac{125\pi(2-\sqrt{2})}{12}.
Exemplo B — integral de f(x,y,z)=z. Em esféricas z=\rho\cos\varphi, então integrando:
\iiint_{E} z\,dV =\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{5}(\rho\cos\varphi)\,\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{5}\rho^{3}\cos\varphi\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Integramos em \rho:
\int_{0}^{5}\rho^{3}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{4}}{4}\right|_{0}^{5}=\frac{625}{4}.
Logo
\iiint_{E} z\,dV=\frac{625}{4}\int_{0}^{\pi/2}d\theta\int_{0}^{\pi/4}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
Note que \cos\varphi\sin\varphi=\tfrac{1}{2}\sin(2\varphi) ou usar substituição u=\sin\varphi. Faço direto:
\int_{0}^{\pi/4}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi=\frac{1}{2}\left.\sin^{2}\varphi\right|_{0}^{\pi/4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.
E \theta \pi/2. Assim
\iiint_{E} z\,dV=\frac{625}{4}\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{625\pi}{32}.

Resposta

\boxed{\displaystyle \iiint_{E} f(x,y,z)\,dV = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{5} f\big(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi\big)\,\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.}
\boxed{\displaystyle \text{(Alternativa em cilíndricas)}\quad \iiint_{E} f(x,y,z)\,dV = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{5/\sqrt{2}}\int_{r}^{\sqrt{25-r^{2}}} f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)\;r\,dz\,dr\,d\theta.}í

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