Determine o volume do sólido localizado no primeiro octante limitado pelas seguintes superfícies:
Passo 1
O enunciado dá as superfícies (peguei-as do enunciado):
Pede-se: determinar o volume do sólido que está no primeiro octante (ou seja, com
) e é limitado por essas superfícies.
Informações relevantes listadas:
- A superfície
pode ser escrita como . - A superfície
limita a região no plano . - Primeiro octante implica
, , . - O volume será a integral dupla da altura em
(diferença entre a superfície e ) sobre a região projetada no plano .
Passo 2
Vamos encontrar a projeção
do sólido no plano
. Para um ponto
em
deve valer:
-
(porque é uma face), -
(porque é uma face), - e também
(porque a superfície é a outra fronteira).
Para que exista
com
é necessário
. Assim
Como estamos no primeiro octante (
), obtemos
Para cada
nessa faixa,
varia de
até
. Portanto a região projetada é
Passo 3
A altura do sólido sobre o ponto
da projeção é a diferença entre a superfície superior
e a superfície inferior
. Logo a fórmula do volume é
Escolhemos integrar primeiro em
porque o limite superior de
depende de
.
Passo 4
Escrevendo o integral iterado com os limites identificados:
Passo 5
Calcule a integral interna em
. Integramos termo a termo:
Avaliaremos entre
e
:
Passo 6
Agora simplificamos a expressão obtida ponto a ponto.
Primeiro expandir cada parcela:
Somando tudo:
Portanto o volume reduz-se ao integral em
:
Passo 7
Integramos termo a termo para obter a primitiva:
Agora avaliamos entre
e
:
Calcule passo a passo:
Passo 8
Conclusão: o volume do sólido pedido é