Determine o volume do sólido localizado no primeiro octante limitado pelas seguintes superfícies:
\begin{gathered} x=0 \\\ y=0 \\\ z=0 \\\ x=1-y^{2} \\\\ 6+6 x+8 y-z=0 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá as superfícies (peguei-as do enunciado):
  • x=0
  • y=0
  • z=0
  • x=1-y^{2}
  • 6+6x+8y-z=0
Pede-se: determinar o volume do sólido que está no primeiro octante (ou seja, com x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0) e é limitado por essas superfícies.
Informações relevantes listadas:
  • A superfície 6+6x+8y-z=0 pode ser escrita como \;z=6+6x+8y.
  • A superfície x=1-y^{2} limita a região no plano xy.
  • Primeiro octante implica x\ge0, y\ge0, z\ge0.
  • O volume será a integral dupla da altura em z (diferença entre a superfície e z=0) sobre a região projetada no plano xy.

Passo 2

Vamos encontrar a projeção D do sólido no plano xy. Para um ponto (x,y) em D deve valer:
  • x\ge0 (porque x=0 é uma face),
  • y\ge0 (porque y=0 é uma face),
  • e também x\le 1-y^{2} (porque a superfície x=1-y^{2} é a outra fronteira).
Para que exista x\ge0 com x\le 1-y^{2} é necessário 1-y^{2}\ge0. Assim
1-y^{2}\ge0 \quad\Rightarrow\quad -1\le y\le 1.
Como estamos no primeiro octante ( y\ge0), obtemos
0\le y\le 1.
Para cada y nessa faixa, x varia de 0 até 1-y^{2}. Portanto a região projetada é
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\;0\le x\le 1-y^{2}\}.

Passo 3

A altura do sólido sobre o ponto (x,y) da projeção é a diferença entre a superfície superior z=6+6x+8y e a superfície inferior z=0. Logo a fórmula do volume é
V=\iint_{D} \bigl(z_{\text{top}}-z_{\text{bot}}\bigr)\,dA =\iint_{D} (6+6x+8y)\,dA.
Escolhemos integrar primeiro em x porque o limite superior de x depende de y.

Passo 4

Escrevendo o integral iterado com os limites identificados:
V=\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1-y^{2}} (6+6x+8y)\,dx\,dy.

Passo 5

Calcule a integral interna em x. Integramos termo a termo:
\int (6+6x+8y)\,dx = 6x + 3x^{2} + 8yx + C.
Avaliaremos entre x=0 e x=1-y^{2}:
\left[6x+3x^{2}+8yx\right]_{0}^{\,1-y^{2}} =6(1-y^{2}) + 3(1-y^{2})^{2} + 8y(1-y^{2}).

Passo 6

Agora simplificamos a expressão obtida ponto a ponto.
Primeiro expandir cada parcela:
6(1-y^{2}) = 6 - 6y^{2},
3(1-y^{2})^{2} = 3(1 - 2y^{2} + y^{4}) = 3 - 6y^{2} + 3y^{4},
8y(1-y^{2}) = 8y - 8y^{3}.
Somando tudo:
6 - 6y^{2} + 3 - 6y^{2} + 3y^{4} + 8y - 8y^{3} = 3y^{4} - 8y^{3} -12y^{2} + 8y + 9.
Portanto o volume reduz-se ao integral em y:
V=\int_{0}^{1} \bigl(3y^{4} - 8y^{3} -12y^{2} + 8y + 9\bigr)\,dy.

Passo 7

Integramos termo a termo para obter a primitiva:
\int \bigl(3y^{4} - 8y^{3} -12y^{2} + 8y + 9\bigr)\,dy = \tfrac{3}{5}y^{5} - 2y^{4} - 4y^{3} + 4y^{2} + 9y + C.
Agora avaliamos entre y=0 e y=1:
V=\left(\tfrac{3}{5}\cdot 1^{5} - 2\cdot 1^{4} - 4\cdot 1^{3} + 4\cdot 1^{2} + 9\cdot 1\right) - 0.
Calcule passo a passo:
\tfrac{3}{5} - 2 - 4 + 4 + 9 = \tfrac{3}{5} + (-2-4+4)+9 = \tfrac{3}{5} -2 +9 = \tfrac{3}{5} +7 = \tfrac{38}{5}.

Passo 8

Conclusão: o volume do sólido pedido é
V=\tfrac{38}{5}.

Resposta

\tfrac{38}{5}

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