Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral tripla de sobre a região , que é definida como todos os pontos no espaço tridimensional onde e , , . Isso significa que estamos lidando com uma região que está entre duas esferas, uma de raio 2 e outra de raio 3, mas apenas no primeiro octante (onde todas as coordenadas são positivas). Para resolver essa integral, vamos usar as coordenadas esféricas, que são mais adequadas para regiões esféricas.
Passo 2
Vamos converter a integral para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
onde rho é a distância do ponto à origem, phi é o ângulo com o eixo z e theta é o ângulo no plano xy. O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. A condição 4 <= x^2+y^2+z^2 <= 9 se traduz em 2 <= rho <= 3, já que rho = raizx^2+y^2+z^2. Como estamos no primeiro octante, theta varia de 0 a pi2 e phi varia de 0 a pi2.