Seja a região D=(x, y, z) in R^3 mid 4 <= x^2+y^2+z^2 <= 9, x >= 0, y >= 0, z >= 0. Calcule
integral triplaD raizx^2+y^2+z^2 d x d y d z

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral tripla de raizx^2+y^2+z^2 sobre a região D, que é definida como todos os pontos (x, y, z) no espaço tridimensional onde 4 <= x^2+y^2+z^2 <= 9 e x >= 0, y >= 0, z >= 0. Isso significa que estamos lidando com uma região que está entre duas esferas, uma de raio 2 e outra de raio 3, mas apenas no primeiro octante (onde todas as coordenadas são positivas). Para resolver essa integral, vamos usar as coordenadas esféricas, que são mais adequadas para regiões esféricas.

Passo 2

Vamos converter a integral para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
onde rho é a distância do ponto à origem, phi é o ângulo com o eixo z e theta é o ângulo no plano xy. O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. A condição 4 <= x^2+y^2+z^2 <= 9 se traduz em 2 <= rho <= 3, já que rho = raizx^2+y^2+z^2. Como estamos no primeiro octante, theta varia de 0 a pi2 e phi varia de 0 a pi2.

Passo 4

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral triplaD raizx^2+y^2+z^2 , dx , dy , dz = integral0^pi2 integral0^pi2 integral2^3 rho cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Aqui, raizx^2+y^2+z^2 = rho e dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta.

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral2^3 rho^3 sinphi , drho , dphi , dtheta
Podemos separar as integrais, já que são independentes:
( integral2^3 rho^3 , drho ) cdot ( integral0^pi2 sinphi , dphi ) cdot ( integral0^pi2 dtheta )

Passo 6

Calculando cada integral separadamente:
integral2^3 rho^3 , drho = [ rho^44 ]2^3 = 814 - 164 = 654
integral0^pi2 sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi2 = -0 + 1 = 1
integral0^pi2 dtheta = pi2 - 0 = pi2

Passo 7

Multiplicando os resultados das integrais:
654 cdot 1 cdot pi2 = 65pi8

Resposta

O valor da integral tripla é dfrac65,pi8.

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