Encontrar a área da região limitada por um arco de cicloide
e
,
] e o eixo
usando o teorema de Green.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a área da região que está limitada por um arco de cicloide dado pelas equações paramétricas $ x = a(\theta - \sin \theta) $ e $ y = a(1 - \cos \theta) $, onde $ a > 0 $ e $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha a integrais duplas e nos ajuda a calcular áreas de regiões fechadas de forma mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma cicloide. É a curva traçada por um ponto na borda de uma roda que rola sem deslizar sobre uma superfície reta. As equações dadas parametricamente descrevem essa curva para um ciclo completo (quando $ \theta $ vai de $ 0 $ a $ 2\pi $).
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada $ C $ com uma integral dupla sobre a região $ D $ que essa curva delimita. Para calcular a área usando o Teorema de Green, podemos usar a seguinte fórmula:
Isso significa que precisamos parametrizar a curva $ C $ usando as equações dadas e calcular essa integral.
Passo 4
Vamos parametrizar a curva usando $ \theta $ como nosso parâmetro, onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $. As equações paramétricas são:
Agora, vamos calcular as derivadas $ dx $ e $ dy $ em relação a $ \theta $:
Passo 5
Substituindo na fórmula da área:
Vamos substituir $ x(\theta) $, $ y(\theta) $, $ \frac{dx}{d\theta} $ e $ \frac{dy}{d\theta} $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral. Primeiro, expandimos os termos:
Substituindo de volta:
Vamos integrar termo a termo:
- $ \int \theta \sin \theta , d\theta = -\theta \cos \theta + \sin \theta $
- $ \int \sin^2 \theta , d\theta = \frac{\theta}{2} - \frac{\sin 2\theta}{4} $
- $ \int 1 , d\theta = \theta $
- $ \int \cos \theta , d\theta = \sin \theta $
- $ \int \cos^2 \theta , d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} $
Substituindo os limites de $ 0 $ a $ 2\pi $ e simplificando, muitos termos se cancelam, e após os cálculos, você chega a:
Resposta
A área da região limitada pela cicloide e pelo eixo $ x $ é $ 3\pi a^2 $.