Seja D a região no plano x y limitada por (x^2+y^24)^2=x^2-y^24. Calcule a área de D fazendo o cálculo da integral dupla
integral duplaD d A
através de uma mudança de coordenadas apropriada. (Dica: a região D no plano u v com u=x e v=y2 é uma rosácea de 2 pétalas.)

Passo 1

O enunciado pede a área da região D em (x,y) definida por l(x^2+tfracy^24r)^2 = x^2 - tfracy^24. Vamos calcular integral duplaD dA fazendo a mudança de variáveis u=x, v=tfrac y2. Esse exercício envolve jacobiano e coordenadas polares no plano (u,v).

Passo 2

Fazendo a mudança de variáveis x=u, y=2v, o jacobiano é
J = |partial(x,y)partial(u,v)| = 1 & 00 & 2 = 2

Passo 3

No plano (u,v) a equação da fronteira fica
l(u^2+v^2r)^2 = u^2 - v^2,
que em coordenadas polares (u=rcostheta,,v=rsintheta) vira
r^4 = r^2(cos^2theta - sin^2theta) implies r^2 = cos2theta,
com r>=0 e cos2theta>=0. São dois “pétalas”: thetain[-tfracpi4,tfracpi4] e [tfrac3pi4,tfrac5pi4].

Passo 4

A área em (x,y) é
integral duplaD dAxy = integral duplaD' J,dAuv = 2 integral duplaD' dAuv
Usando polares em (u,v), escrevemos a área de D' como a soma das duas pétalas. Por simetria,
Área(D') = 2integral-pi/4^pi/4integral0^raizcos2theta r,dr,dtheta = 2integral-pi/4^pi/4 (raizcos2theta)^22,dtheta = integral-pi/4^pi/4 cos2theta,dtheta Á

Passo 5

Calculando essa integral:
integral-pi/4^pi/4 cos2theta,dtheta = l[tfrac12sin2thetar]-pi/4^pi/4 = tfrac12(1 - (-1)) = 1
Logo Área(D') = 1Á e portanto
Área(D) = 2times 1 = 2 Á

Resposta

2

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