Usando trigonometria, verifique que
cos ^3(x) & =34 cos (x)+14 cos (3 x) sin ^3(x) & =34 sin (x)-14 sin (3 x)
Use isto para resolver:
y^prime prime+4 y=cos ^3(x)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = cos^3(x)
e vamos usar identidades trigonométricas para cos^3(x) (e também sin^3(x)) e em seguida resolver a equação por separação em parte homogênea e particular.

Passo 2

Vamos verificar as identidades trigonométricas à mão usando as fórmulas de ângulo triplo:
A fórmula para cosseno de ângulo triplo é
cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)
Isolando cos^3(x) obtemos
cos^3(x) = 34cos(x) + 14cos(3x)
Similarmente, da fórmula
sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)
vemos que
sin^3(x) = 34sin(x) - 14sin(3x)

Passo 3

Usando a identidade para cos^3(x), reescrevemos o termo não homogêneo:
cos^3(x) = 34cos(x) + 14cos(3x)
Logo a EDO fica
y'' + 4y = 34cos(x) + 14cos(3x)

Passo 4

Resolvendo primeiro a parte homogênea:
y'' + 4y = 0
A equação característica é r^2 + 4 = 0, com raízes r = pm 2i. Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x)

Passo 5

Agora buscamos uma solução particular yp como soma das contribuições de cada cosseno na força externa. Para um termo Acos(omega x), usa-se
yp = A4 - omega^2cos(omega x),
desde que omega^2 neq 4. Aqui temos dois termos:
  • Para A = tfrac34 e omega = 1: yp1 = 3/44 - 1cos(x) = 3/43cos(x) = 14cos(x)
  • Para A = tfrac14 e omega = 3: yp2 = 1/44 - 9cos(3x) = 1/4-5cos(3x) = -120cos(3x)
Somando, a solução particular é
yp(x) = 14cos(x) - 120cos(3x)
Portanto a solução geral da EDO é a soma:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x) + 14cos(x) - 120cos(3x)

Resposta

y(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x) + tfrac14cos(x) - tfrac120cos(3x)

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