Usando trigonometria, verifique que
Use isto para resolver:
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
e vamos usar identidades trigonométricas para
(e também
) e em seguida resolver a equação por separação em parte homogênea e particular.
Passo 2
Vamos verificar as identidades trigonométricas à mão usando as fórmulas de ângulo triplo:
A fórmula para cosseno de ângulo triplo é
A fórmula para cosseno de ângulo triplo é
Isolando
obtemos
Similarmente, da fórmula
vemos que
Passo 3
Usando a identidade para
, reescrevemos o termo não homogêneo:
Logo a EDO fica
Passo 4
Resolvendo primeiro a parte homogênea:
A equação característica é
, com raízes
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 5
Agora buscamos uma solução particular
como soma das contribuições de cada cosseno na força externa. Para um termo
, usa-se
desde que
. Aqui temos dois termos:
- Para
e : - Para
e :
Somando, a solução particular é
Portanto a solução geral da EDO é a soma: