Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha
onde
é o arco da circunferência
com
, orientado positivamente (no sentido anti-horário).
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que a gente precisa resolver é:
Aqui,
é o arco da circunferência dada por
, mas só a parte onde
, e está orientada positivamente, ou seja, no sentido anti-horário.
Para resolver isso usando o Teorema de Green, a gente vai precisar transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. O Teorema de Green relaciona integrais de linha e integrais duplas em um domínio plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na nossa integral de linha. A integral está na forma:
Comparando com a nossa integral, temos:
e
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema de Green, que diz:
Aqui,
é a região dentro da curva
. Então, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Calculando
:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Calculando
:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Substituindo as derivadas no Teorema de Green:
Legal, toda a parte que tem
cancelou, e ficou só
.
Passo 7
Então, a integral dupla fica:
Isso significa que estamos integrando uma constante
sobre a área
da nossa curva
.
Passo 8
Agora, vamos calcular a área
. A curva
é a circunferência
, que é um círculo de raio
centrado no ponto
. Mas como a gente está considerando apenas a parte onde
,
é um semicírculo.
A área de um círculo completo é
, então a área de um semicírculo é:
Passo 9
Agora, substituindo na integral dupla:
Resposta
A integral de linha é igual a
.