Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha
integralC e^yx d x+(e^y ln x+xpi) d y
onde C é o arco da circunferência (x-1)^2+y^2=14 com y <= 0, orientado positivamente (no sentido anti-horário).

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que a gente precisa resolver é:
integralC e^yx , dx + (e^y ln x + xpi) , dy
Aqui, C é o arco da circunferência dada por (x-1)^2 + y^2 = 14, mas só a parte onde y <= 0, e está orientada positivamente, ou seja, no sentido anti-horário.
Para resolver isso usando o Teorema de Green, a gente vai precisar transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. O Teorema de Green relaciona integrais de linha e integrais duplas em um domínio plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções P e Q na nossa integral de linha. A integral está na forma:
integralC P , dx + Q , dy
Comparando com a nossa integral, temos:
P = e^yx
e
Q = e^y ln x + xpi

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema de Green, que diz:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, D é a região dentro da curva C. Então, precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 4

Calculando partial Qpartial x:
Q = e^y ln x + xpi
Derivando em relação a x:
partial Qpartial x = e^y cdot 1x + 1pi

Passo 5

Calculando partial Ppartial y:
P = e^yx
Derivando em relação a y:
partial Ppartial y = e^yx

Passo 6

Substituindo as derivadas no Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = (e^y cdot 1x + 1pi) - e^yx = 1pi
Legal, toda a parte que tem e^y/x cancelou, e ficou só 1pi.

Passo 7

Então, a integral dupla fica:
integral duplaD 1pi , dA
Isso significa que estamos integrando uma constante 1pi sobre a área D da nossa curva C.

Passo 8

Agora, vamos calcular a área D. A curva C é a circunferência (x-1)^2 + y^2 = 14, que é um círculo de raio r = 12 centrado no ponto (1, 0). Mas como a gente está considerando apenas a parte onde y <= 0, D é um semicírculo.
A área de um círculo completo é pi r^2, então a área de um semicírculo é:
A = 12 pi (12)^2 = 12 pi cdot 14 = pi8

Passo 9

Agora, substituindo na integral dupla:
integral duplaD 1pi , dA = 1pi cdot pi8 = 18

Resposta

A integral de linha é igual a 18.

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