Seja R a região do plano u v limitada pelos eixos u e v e pela reta u+v=2. Dada a transformação x=u+v e y=u^2-v.
(a) (10 pontos) Calcule a área da região R^prime.
(b) (20 pontos) Calcule integral duplaR^prime 1raiz1+4 x+4 y d A.

Passo 1

O enunciado define a região R no plano (u,v) por
u>=0, v>=0, u+v<=2,
e a transformação
x = u+v, y = u^2 - v
Queremos (a) a área de R', imagem de R em (x,y), e (b) o integral
integral duplaR' 1raiz1+4x+4y,dA
Vamos usar a fórmula de mudança de variáveis
dAxy = l|detpartial(x,y)/partial(u,v)r|,du,dv

Passo 2

Calculamos o Jacobiano
J=detpartial(x,y)partial(u,v) =det1&12u&-1 =-1-2u=-(2u+1),
portanto
|J|=2u+1

Passo 3

Para a área de R' temos
Área(R') =integral duplaR|J|,du,dv =integralu=0^2integralv=0^2-u(2u+1),dv,du Á
Desenvolvendo,
integral0^2(2u+1)(2-u),du =integral0^2l(-2u^2+3u+2r),du =l[-tfrac2u^33+tfrac3u^22+2ur]0^2 =143

Passo 4

Para o integral em R' fazemos a mudança de variáveis:
integral duplaR'1raiz1+4x+4y,dA =integral duplaR|J|raiz1+4(u+v)+4(u^2-v),du,dv

Passo 5

No integrando note que
1+4(u+v)+4(u^2-v)=1+4u+4u^2=(2u+1)^2,
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|J|raiz(2u+1)^2 =2u+12u+1=1
O integral torna-se
integral duplaR1,du,dv =Área(R) =12cdot2cdot2=2 Á

Resposta

(a) 143
(b) 2

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