Seja A a região em R^3 limitada pelos planos y=1, y=-x, x=0, z=0 e z=-x. Calcule
integral triplaA e^x+y+z d V

Passo 1

Temos que calcular o integral de volume integral triplaA e^x+y+zdV, onde A é a região em R^3 limitada pelos planos y=1, y=-x, x=0, z=0 e z=-x. O conteúdo aqui envolve mudar para integrais iteradas usando o Teorema de Fubini e determinar os limites adequados para x,y,z.

Passo 2

Primeiro identificamos a projeção da região no plano (x,y). O plano x=0 e a reta y=-x se cruzam em (0,0) e a reta y=1 intercepta y=-x em x=-1,,y=1. Como a região fica entre esses planos, concluímos que
-1<= x<= 0, -x<= y<= 1

Passo 3

Em seguida, para cada (x,y) nessa projeção, o plano z=0 e z=-x dão o intervalo
0<= z<= -x

Passo 4

Logo escrevemos a integral tripla como
integralx=-1^0 integraly=-x^1 integralz=0^-x e^x+y+z,dz,dy,dx

Passo 5

Agora integramos primeiro em z:
integral0^-x e^x+y+z,dz = e^x+yintegral0^-xe^z,dz = e^x+yl(e^-x-1r) = e^y - e^x+y

Passo 6

Então a integral fica
integralx=-1^0 integraly=-x^1 l(e^y - e^x+yr) dy,dx

Passo 7

Integramos em y:
integraly=-x^1 e^y dy = e - e^-x, integraly=-x^1 e^x+y dy = e^x(e - e^-x)

Passo 8

Subtraindo, obtemos o integrando em x:
(e - e^-x) - e^x(e - e^-x) = (e+1) - e^-x - e^x+1

Passo 9

Finalmente, integramos em x::
integral-1^0l((e+1)-e^-x-e^x+1r)dx = (e+1)(1)-(e-1)-(e-1)=3-e

Resposta

3 - e

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