Determine se a integral
é convergente ou não.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos a integral imprópria
e precisamos descobrir se ela converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e critérios de comparação para determinar a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral ser convergente. Uma integral imprópria como essa converge se o limite quando o limite superior tende ao infinito for um número real finito. Ou seja, se:
existir e for um número finito, então a integral converge.
Passo 3
Agora, para verificar a convergência, podemos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos ajuda a comparar nossa função com outra função cujo comportamento da integral já conhecemos.
Vamos analisar o comportamento da função
para valores grandes de
. Quando
aumenta,
é aproximadamente
. Então, podemos simplificar a nossa função para algo mais fácil de comparar:
Passo 4
Sabemos que a integral de
de 1 ao infinito converge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1. Portanto:
converge.
Passo 5
Agora, como
para todo
, e a integral de
converge, pelo Teste da Comparação, a nossa integral original:
também converge.
Resposta
A integral
é convergente.