[1,5] Determine se a integral integral1^+infty 1x^3+1 d x é convergente ou não.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos a integral imprópria integral1^+infty 1x^3+1 dx e precisamos descobrir se ela converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e critérios de comparação para determinar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral ser convergente. Uma integral imprópria como essa converge se o limite quando o limite superior tende ao infinito for um número real finito. Ou seja, se:
limb to +infty integral1^b 1x^3+1 dx
existir e for um número finito, então a integral converge.

Passo 3

Agora, para verificar a convergência, podemos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos ajuda a comparar nossa função com outra função cujo comportamento da integral já conhecemos.
Vamos analisar o comportamento da função 1x^3+1 para valores grandes de x. Quando x aumenta, x^3+1 é aproximadamente x^3. Então, podemos simplificar a nossa função para algo mais fácil de comparar:
1x^3+1 approx 1x^3

Passo 4

Sabemos que a integral de 1x^p de 1 ao infinito converge se p > 1. No nosso caso, p = 3, que é maior que 1. Portanto:
integral1^+infty 1x^3 dx
converge.

Passo 5

Agora, como 1x^3+1 <= 1x^3 para todo x >= 1, e a integral de 1x^3 converge, pelo Teste da Comparação, a nossa integral original:
integral1^+infty 1x^3+1 dx
também converge.

Resposta

A integral integral1^+infty 1x^3+1 dx é convergente.

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