[4,5] Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também vai calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias envolvendo limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. Olha só, no ponto
, a função
tende a
, e
tende a 0. Então, na verdade, temos um tipo de indeterminação
, o que pode tornar a integral imprópria no limite inferior.
Passo 3
Para lidar com isso, a gente vai reescrever a integral como um limite. Ou seja, vamos considerar:
Isso nos ajuda a avaliar o comportamento da integral perto de
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral indefinida
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes
, temos:
Integrando
, obtemos:
Passo 5
Agora, vamos aplicar os limites de
a 1:
Sabemos que
, então a expressão simplifica para:
Vamos analisar cada termo:
-
é constante. -
: quando , e . Porém, tende a zero mais rápido que tende a , então esse termo tende a 0. -
também tende a 0.
Portanto, o limite fica:
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é
.