[4,5] Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
(d) [1,0] integral0^1 x ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a integral imprópria integral0^1 x ln x , dx é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também vai calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias envolvendo limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. Olha só, no ponto x = 0, a função ln x tende a -infty, e x tende a 0. Então, na verdade, temos um tipo de indeterminação 0 cdot (-infty), o que pode tornar a integral imprópria no limite inferior.

Passo 3

Para lidar com isso, a gente vai reescrever a integral como um limite. Ou seja, vamos considerar:
integral0^1 x ln x , dx = lima to 0^+ integrala^1 x ln x , dx
Isso nos ajuda a avaliar o comportamento da integral perto de x = 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral indefinida integral x ln x , dx. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
u = ln x Rightarrow du = 1x dx
dv = x , dx Rightarrow v = x^22
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du, temos:
integral x ln x , dx = x^22 ln x - integral x^22 cdot 1x dx = x^22 ln x - 12 integral x , dx
Integrando integral x , dx, obtemos:
x^22 ln x - 12 cdot x^22 + C = x^22 ln x - x^24 + C

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de a a 1:
lima to 0^+ [ ( 1^22 ln 1 - 1^24 ) - ( a^22 ln a - a^24 ) ]
Sabemos que ln 1 = 0, então a expressão simplifica para:
lima to 0^+ ( -14 - ( a^22 ln a - a^24 ) )
Vamos analisar cada termo:
  1. -14 é constante.
  2. a^22 ln a: quando a to 0^+, a^2 to 0 e ln a to -infty. Porém, a^2 tende a zero mais rápido que ln a tende a -infty, então esse termo tende a 0.
  3. -a^24 também tende a 0.
Portanto, o limite fica:
-14 - 0 + 0 = -14

Resposta

A integral integral0^1 x ln x , dx é convergente e seu valor é -14.

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