Seja E a região sólida da esfera de raio 2 centrada na origem, no primeiro octante.
calcule
integral triplaE zx^2+y^2+z^2 d V

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral tripla sobre a região $ E $, que é a parte da esfera de raio 2 centrada na origem, mas só no primeiro octante (ou seja, onde $ x $, $ y $ e $ z $ são positivos). A função que vamos integrar é $ \frac{z}{x{2}+y{2}+z^{2}} $. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para integrar sobre esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar as coordenadas cartesianas $ (x, y, z) $ para coordenadas esféricas $ (\rho, \theta, \phi) $:
(x, y, z)
Aqui, $ \rho $ é a distância do ponto à origem, $ \theta $ é o ângulo no plano $ xy $, e $ \phi $ é o ângulo em relação ao eixo $ z $.

Passo 3

A função que vamos integrar é $ \frac{z}{x{2}+y{2}+z^{2}} $. Vamos substituir usando as coordenadas esféricas:
zx^2+y^2+z^2

Passo 4

O volume em coordenadas esféricas tem o elemento de volume $ dV = \rho^{2} \sin\phi , d\rho , d\phi , d\theta $. Então, nossa integral fica:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites de integração para $ \rho $, $ \phi $ e $ \theta $:
  • $ \rho $ varia de 0 a 2 (raio da esfera).
  • $ \phi $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{2} $ (já que estamos no primeiro octante, $ z \geq 0 $).
  • $ \theta $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{2} $ (pois $ x $ e $ y $ são positivas no primeiro octante).

Passo 6

Vamos escrever a integral com esses limites:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^2 rho cosphi sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em relação a $ \rho $, depois $ \phi $ e por último $ \theta $.
Integral em $ \rho $:
rho

Passo 8

Agora, a integral fica:
2 integral0^pi2 integral0^pi2 cosphi sinphi , dphi , dtheta
Vamos integrar em $ \phi $:
phi
Podemos usar a substituição $ u = \sin\phi $, $ du = \cos\phi , d\phi $:
integral0^pi2 cosphi sinphi , dphi

Passo 9

Agora, a integral fica:
2 cdot 12 integral0^pi2 dtheta = 1 cdot [ theta ]0^pi2 = 1 cdot pi2 = pi2

Resposta

O valor da integral tripla é $ \frac{\pi}{2} $.

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