Seja
a região sólida da esfera de raio 2 centrada na origem, no primeiro octante.
calcule
calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral tripla sobre a região $ E $, que é a parte da esfera de raio 2 centrada na origem, mas só no primeiro octante (ou seja, onde $ x $, $ y $ e $ z $ são positivos). A função que vamos integrar é $ \frac{z}{x{2}+y{2}+z^{2}} $. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para integrar sobre esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como transformar as coordenadas cartesianas $ (x, y, z) $ para coordenadas esféricas $ (\rho, \theta, \phi) $:
Aqui, $ \rho $ é a distância do ponto à origem, $ \theta $ é o ângulo no plano $ xy $, e $ \phi $ é o ângulo em relação ao eixo $ z $.
Passo 3
A função que vamos integrar é $ \frac{z}{x{2}+y{2}+z^{2}} $. Vamos substituir usando as coordenadas esféricas:
Passo 4
O volume em coordenadas esféricas tem o elemento de volume $ dV = \rho^{2} \sin\phi , d\rho , d\phi , d\theta $. Então, nossa integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites de integração para $ \rho $, $ \phi $ e $ \theta $:
- $ \rho $ varia de 0 a 2 (raio da esfera).
- $ \phi $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{2} $ (já que estamos no primeiro octante, $ z \geq 0 $).
- $ \theta $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{2} $ (pois $ x $ e $ y $ são positivas no primeiro octante).
Passo 6
Vamos escrever a integral com esses limites:
Passo 7
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em relação a $ \rho $, depois $ \phi $ e por último $ \theta $.
Integral em $ \rho $:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Vamos integrar em $ \phi $:
Podemos usar a substituição $ u = \sin\phi $, $ du = \cos\phi , d\phi $:
Passo 9
Agora, a integral fica:
Resposta
O valor da integral tripla é $ \frac{\pi}{2} $.