Seja
a região sólida da esfera de raio 2 centrada na origem, no primeiro octante.
exprima a região sólida
em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas;
exprima a região sólida
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma região sólida chamada
, que é a parte de uma esfera com raio 2, centrada na origem, e que está no primeiro octante. Hoje, vamos aprender a expressar essa região usando dois tipos de coordenadas diferentes: coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender como cada sistema de coordenadas funciona e como aplicar as fórmulas para descrever a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o primeiro octante. No espaço tridimensional, os octantes são as oito partes em que o espaço é dividido pelos planos coordenados (
,
,
). O primeiro octante é aquele onde todas as coordenadas são positivas:
,
, e
. Isso significa que nossa região
está onde todas essas coordenadas são positivas.
Passo 3
Vamos começar convertendo a região
para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, qualquer ponto é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até o eixo , -
é o ângulo entre a projeção do ponto no plano e o eixo , -
é a mesma coordenada das coordenadas cartesianas.
A equação da esfera de raio 2 centrada na origem em coordenadas cilíndricas fica:
Isso vem da substituição
na equação original da esfera
.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites para
,
e
:
- Como estamos no primeiro octante,
varia de a (90 graus). - O raio
vai de até a fronteira da esfera, que depende de . Da equação , podemos isolar :
Portanto,
varia de
a
.
- Para
, ele varia de até o raio da esfera, que é .
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem, -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo , -
é o mesmo ângulo de coordenadas cilíndricas.
A equação da esfera de raio 2 é simplesmente
, já que todos os pontos estão a uma distância 2 da origem.
Passo 6
Definindo os limites para
,
e
:
-
varia de a , pois estamos dentro da esfera. -
varia de a , mantendo-nos no primeiro octante. -
varia de a também, já que no primeiro octante o ângulo não passa de 90 graus.
Resposta
A região sólida
no primeiro octante pode ser expressa da seguinte forma:
-
Em coordenadas cilíndricas:
-
Em coordenadas esféricas: