Seja E a região sólida da esfera de raio 2 centrada na origem, no primeiro octante.
exprima a região sólida E em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região sólida chamada E, que é a parte de uma esfera com raio 2, centrada na origem, e que está no primeiro octante. Hoje, vamos aprender a expressar essa região usando dois tipos de coordenadas diferentes: coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender como cada sistema de coordenadas funciona e como aplicar as fórmulas para descrever a região E.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o primeiro octante. No espaço tridimensional, os octantes são as oito partes em que o espaço é dividido pelos planos coordenados ( x, y, z). O primeiro octante é aquele onde todas as coordenadas são positivas: x >= 0, y >= 0, e z >= 0. Isso significa que nossa região E está onde todas essas coordenadas são positivas.

Passo 3

Vamos começar convertendo a região E para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, qualquer ponto é representado por (r, theta, z), onde:
  • r é a distância do ponto até o eixo z,
  • theta é o ângulo entre a projeção do ponto no plano xy e o eixo x,
  • z é a mesma coordenada z das coordenadas cartesianas.
A equação da esfera de raio 2 centrada na origem em coordenadas cilíndricas fica:
r^2 + z^2 = 4
Isso vem da substituição x^2 + y^2 = r^2 na equação original da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4.

Passo 4

Agora, vamos definir os limites para r, theta e z:
  • Como estamos no primeiro octante, theta varia de 0 a pi2 (90 graus).
  • O raio r vai de 0 até a fronteira da esfera, que depende de z. Da equação r^2 + z^2 = 4, podemos isolar r:
r = raiz4 - z^2
Portanto, r varia de 0 a raiz4 - z^2.
  • Para z, ele varia de 0 até o raio da esfera, que é 2.

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto é representado por (rho, phi, theta), onde:
  • rho é a distância do ponto até a origem,
  • phi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z,
  • theta é o mesmo ângulo de coordenadas cilíndricas.
A equação da esfera de raio 2 é simplesmente rho = 2, já que todos os pontos estão a uma distância 2 da origem.

Passo 6

Definindo os limites para rho, phi e theta:
  • rho varia de 0 a 2, pois estamos dentro da esfera.
  • theta varia de 0 a pi2, mantendo-nos no primeiro octante.
  • phi varia de 0 a pi2 também, já que no primeiro octante o ângulo phi não passa de 90 graus.

Resposta

A região sólida E no primeiro octante pode ser expressa da seguinte forma:
  • Em coordenadas cilíndricas:
    0 <= theta <= pi2, 0 <= z <= 2, 0 <= r <= raiz4 - z^2
  • Em coordenadas esféricas:
    0 <= theta <= pi2, 0 <= phi <= pi2, 0 <= rho <= 2

Exercícios relacionados