Seja
uma região do tipo
ou do tipo
do plano e
uma função de classe
. Mostre que a área da superfície
(i.e. a superfície dada por
,
é dada pela formula:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um domínio
de tipo I ou II e uma função
de classe
, a área da superfície
é
O que vamos usar é a parametrização padrão de um gráfico e a fórmula da área de uma superfície parametrizada via produto vetorial.
Passo 2
Parametrizamos
pela aplicação
onde
percorre o domínio
. Pela teoria de superfícies, a área de
é
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais da parametrização:
Passo 4
O produto vetorial é
Tomando norma,
Logo a área fica