Seja K uma região do tipo I ou do tipo I I do plano e f: K R uma função de classe C^1. Mostre que a área da superfície z=f(x, y) (i.e. a superfície dada por x=u, y=v, z=f(u, v)) é dada pela formula:
integral duplaK raiz1+(partial fpartial x)^2+(partial fpartial y)^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um domínio KsubsetR^2 de tipo I ou II e uma função f:KtoR de classe C^1, a área da superfície
S=l(x,y,z)mid (x,y)in K,;z=f(x,y)r
é
integral duplaKraiz1+l(partial fpartial xr)^2+l(partial fpartial yr)^2;dx,dy
O que vamos usar é a parametrização padrão de um gráfico e a fórmula da área de uma superfície parametrizada via produto vetorial.

Passo 2

Parametrizamos S pela aplicação
X(u,v) = l(u,;v,;f(u,v)r),
onde (u,v) percorre o domínio K. Pela teoria de superfícies, a área de S é
integral duplaKl|XutimesXvr|;du,dv

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais da parametrização:
Xu = l(1,;0,;fu(u,v)r), Xv = l(0,;1,;fv(u,v)r)

Passo 4

O produto vetorial é
XutimesXv = i&j&k 1&0&fu 0&1&fv = (-fu,,-fv,,1)
Tomando norma,
l|XutimesXvr| =raiz(-fu)^2+(-fv)^2+1^2 =raiz1+fu^2+fv^2
Logo a área fica
integral duplaKraiz1+fu(u,v)^2+fv(u,v)^2;du,dv

Resposta

boxedintegral duplaKraiz1+l(partial fpartial xr)^2+l(partial fpartial yr)^2;dx,dy

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