13-18 Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial em
, com
,
e pede para verificar se ele é conservativo (isto é, se existe
tal que
).
Passo 2
Recordando, num domínio aberto e simplesmente conexo,
é conservativo se e somente se
Aqui o domínio
tem duas componentes (para
e
), cada uma simplesmente conexa. Basta então analisar
dentro de uma delas.
Passo 3
Usamos a definição por determinante:
Passo 4
Calculamos a componente
x de
nablatimesF :
Essa expressão não é identicamente zero, logo
nablatimesFneq0 .
Resposta
O campo
F não é conservativo.