13-18 Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y, z)=e^x y sen z j+y tg^-1(x / z) k

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial em R^3, com zneq0,
F(x,y,z)=0,i+e^xysin z,j+yarctan!l(tfracxzr),k,
e pede para verificar se ele é conservativo (isto é, se existe f tal que F=nabla f).

Passo 2

Recordando, num domínio aberto e simplesmente conexo, F é conservativo se e somente se
nablatimesF=0
Aqui o domínio (x,y,z)mid zneq0 tem duas componentes (para z>0 e z<0), cada uma simplesmente conexa. Basta então analisar nablatimesF dentro de uma delas.

Passo 3

Usamos a definição por determinante:
nablatimesF = i&j&k partialx&partialy&partialz 0 & e^xysin z & yarctan!l(tfracxzr)

Passo 4

Calculamos a componente x de nablatimesF:
(nablatimesF)x =partialyl[yarctan(x/z)r] -partialzl[e^xysin zr] =arctan!l(tfracxzr)-e^xycos z
Essa expressão não é identicamente zero, logo nablatimesFneq0.

Resposta

O campo F não é conservativo.

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