Use o teste da razão para verificar se a série
é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para usar o teste da razão (teste de d’Alembert) para decidir se a série é convergente ou divergente.
Informações importantes extraídas do enunciado:
Informações importantes extraídas do enunciado:
- O termo geral da série é
. - Precisa-se aplicar o teste da razão: calcular o limite de
quando e interpretar o resultado.
Passo 2
Relembrando o teste da razão (explicado de forma direta): seja
uma sequência de termos positivos. Defina
se esse limite existir. Então:
- Se
, a série converge absolutamente (portanto converge). - Se
(incluindo ), a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Vou aplicar esse critério ao termo
dado.
Passo 3
Escrevo explicitamente
e
:
Calculo a razão
:
Simplificando a potência de
:
Portanto
Passo 4
Agora calculo o limite quando
da expressão obtida:
Analiso a parte
. Note que
Usando o limite clássico
, segue que
(Alternativamente, podia-se tomar logaritmo:
, pois
.)
Assim a parte exponencial tende a uma constante positiva
. Porém o fator
tende a
quando
. Multiplicando:
Portanto
Passo 5
Aplicando o teste da razão: o limite
existe e vale
, que é menor que
. Pelo teste da razão, a série
converge absolutamente, logo converge.
Resposta
A série converge absolutamente (logo, converge).