Use o teste da razão para verificar se a série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{2 n+1}}{n^{2 n}} é convergente ou divergente.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^{2n+1}}{n^{2n}}
e pede para usar o teste da razão (teste de d’Alembert) para decidir se a série é convergente ou divergente.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{3^{2n+1}}{n^{2n}}.
  • Precisa-se aplicar o teste da razão: calcular o limite de \displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} quando n\to\infty e interpretar o resultado.

Passo 2

Relembrando o teste da razão (explicado de forma direta): seja (a_n) uma sequência de termos positivos. Defina
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n},
se esse limite existir. Então:
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente (portanto converge).
  • Se L>1 (incluindo L=+\infty), a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Vou aplicar esse critério ao termo a_n dado.

Passo 3

Escrevo explicitamente a_n e a_{n+1}:
a_n=\frac{3^{2n+1}}{n^{2n}},\qquad a_{n+1}=\frac{3^{2(n+1)+1}}{(n+1)^{2(n+1)}}=\frac{3^{2n+3}}{(n+1)^{2n+2}}.
Calculo a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{2n+3}}{(n+1)^{2n+2}}\cdot\frac{n^{2n}}{3^{2n+1}} =3^{(2n+3)-(2n+1)}\cdot\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n+2}}.
Simplificando a potência de 3:
3^{(2n+3)-(2n+1)}=3^{2}=9.
Portanto
\frac{a_{n+1}}{a_n} =9\cdot\frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n+2}} =9\cdot\frac{1}{(n+1)^2}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n}.

Passo 4

Agora calculo o limite quando n\to\infty da expressão obtida:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =9\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+1)^2}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n}.
Analiso a parte \displaystyle \left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n}. Note que
\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-2n}.
Usando o limite clássico \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e, segue que
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-2n}=e^{-2}.
(Alternativamente, podia-se tomar logaritmo: \ln\big((1+1/n)^{-2n}\big)=-2n\ln(1+1/n)\to-2, pois n\ln(1+1/n)\to1.)
Assim a parte exponencial tende a uma constante positiva e^{-2}. Porém o fator \dfrac{1}{(n+1)^2} tende a 0 quando n\to\infty. Multiplicando:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+1)^2}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n} =0\cdot e^{-2}=0.
Portanto
L=9\cdot 0 = 0.

Passo 5

Aplicando o teste da razão: o limite L existe e vale 0, que é menor que 1. Pelo teste da razão, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{2n+1}}{n^{2n}} converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série converge absolutamente (logo, converge).

Exercícios relacionados