Seja X uma v.a.d que representa o tempo de vida (em dias) de um dispositivo elétrico. Suponha que a função de distribuição acumulada de X seja
FX(x)= 1-e^-x / 20, & se x >= 0 0, & se x<0
Calcule a probabilidade de o dispositivo durar mais de 30 dias.

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre a probabilidade de um dispositivo elétrico durar mais de 30 dias. Para isso, vamos usar funções de distribuição acumulada (CDF), que nos ajudam a encontrar probabilidades relacionadas a variáveis aleatórias contínuas. Precisaremos entender como a CDF está definida para calcular essa probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de a variável aleatória P(X > 30) = 1 - FX(30) ser maior que um valor específico, digamos 30, é dada por:
Aqui, é a função de distribuição acumulada de .

Passo 3

Dado na questão, a CDF FX(x) = 1 - e^-x / 20, & se x >= 0 0, & se x < 0 é:
FX(30) = 1 - e^-30 / 20
Como 30 é maior que 0, usamos a primeira parte da função:

Passo 4

Vamos calcular e^-30 / 20 = e^-1.5 approx 0.22313 :
FX(30) = 1 - 0.22313 = 0.77687
Portanto:

Passo 5

Agora, voltando à probabilidade que queremos:
P(X > 30) = 1 - FX(30) = 1 - 0.77687 = 0.22313

Resposta

A probabilidade de o dispositivo durar mais de 30 dias é aproximadamente 0,22313 ou 22,31%.

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