O desvio-padrão das alturas de 16 estudantes do sexo masculino, escolhidos aleatoriamente em uma escola de 1.000 estudantes desse sexo, é 2,4 cm. Determinar os limites de confiança de: (a) 95 % do desvio-padrão para todos os estudantes do sexo masculino da escola.

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos um grupo de 16 estudantes masculinos escolhidos aleatoriamente de uma escola com 1.000 estudantes desse sexo. A altura desses estudantes tem um desvio-padrão de 2,4 cm. Queremos determinar os limites de confiança de 95% para o desvio-padrão de todas as alturas dos estudantes masculinos da escola. Para resolver isso, vamos usar a teoria de intervalos de confiança para desvio-padrão, que envolve a distribuição qui-quadrado.

Passo 2

Primeiro, identificamos os parâmetros necessários:
  • Tamanho da amostra ( n): 16 estudantes
  • Desvio-padrão amostral ( s): 2,4 cm
  • Graus de liberdade ( df): n - 1 = 15

Passo 3

Em seguida, precisamos encontrar os valores críticos da distribuição qui-quadrado para um intervalo de confiança de 95%. Isso significa que temos 2,5% em cada extremidade da distribuição. Usamos uma tabela de qui-quadrado ou uma calculadora estatística para encontrar:
  • chi^2alpha/2, df para o limite inferior
  • chi^21 - alpha/2, df para o limite superior
Para df = 15 e 95% de confiança:
  • chi^20,025, 15 approx 6,262
  • chi^20,975, 15 approx 27,488

Passo 4

Agora, calculamos os limites para a variância ( sigma^2) usando a fórmula do intervalo de confiança para a variância:
( (n - 1)s^2chi^21 - alpha/2, df, (n - 1)s^2chi^2alpha/2, df )
Substituindo os valores:
( 15 times (2,4)^227,488, 15 times (2,4)^26,262 )
( 15 times 5,7627,488, 15 times 5,766,262 )
( 86,427,488, 86,46,262 )
( 3,14, 13,80 )
Portanto, o intervalo de confiança para a variância é aproximadamente (3,14 cm^2, 13,80 cm^2).

Passo 5

Para encontrar o intervalo de confiança para o desvio-padrão ( sigma), tiramos a raiz quadrada dos limites da variância:
( raiz3,14, raiz13,80 )
( 1,77 cm, 3,71 cm )

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para o desvio-padrão das alturas de todos os estudantes masculinos da escola é aproximadamente entre 1,77 cm e 3,71 cm.

Exercícios relacionados