Seja
a resistência de um concreto (medida em psi) usando um tratamento padrão de produção e
a resistência do concreto (medida em psi) usando um tratamento acelerado. Suponha que a equação da reta de regressão que relaciona
e
seja
, onde
é uma variável aleatória gaussiana com desvio padrão igual a 350 psi.
Qual a probabilidade de o valor observado de resistência do tratamento padrão ultrapassar 5.000 psi, quando o valor da resistência usando o tratamento acelerado for 2.500 psi?
Qual a probabilidade de o valor observado de resistência do tratamento padrão ultrapassar 5.000 psi, quando o valor da resistência usando o tratamento acelerado for 2.500 psi?
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de regressão linear simples misturado com probabilidade. A ideia é: temos uma reta de regressão que diz como a resistência padrão do concreto (y) se comporta em função da resistência acelerada (x), mas com um “ruído” aleatório que segue uma normal. O enunciado é:
y = 1800 + 1,3 x + ε, onde ε ~ N(0, 350²).
Pergunta: qual a P(y > 5000 psi) quando x = 2500 psi?
Matéria envolvida:
y = 1800 + 1,3 x + ε, onde ε ~ N(0, 350²).
Pergunta: qual a P(y > 5000 psi) quando x = 2500 psi?
Matéria envolvida:
- Regressão linear simples (média condicional de y dado x)
- Variável aleatória normal (padronização e uso da tabela da normal)
Passo 2
Calcular a média condicional de y dado x = 2500.
Na regressão, a expectativa de y é
Na regressão, a expectativa de y é
Então, para x = 2500:
Passo 3
O desvio padrão condicional de y dado x é simplesmente o desvio de ε, que é
Passo 4
Agora queremos P(y > 5000). Como y|x é normal com média μ = 5050 e σ = 350, definimos
Então
Passo 5
Usamos a simetria da normal padrão:
onde Φ é a função de distribuição acumulada da N(0,1).
Consultando a tabela da normal padrão:
Consultando a tabela da normal padrão:
então para 0,1429 usamos algo como 0,556.
Resposta
A probabilidade de a resistência ultrapassar 5000 psi é aproximadamente 0,556 (ou 55,6%).