Seja y a resistência de um concreto (medida em psi) usando um tratamento padrão de produção e x a resistência do concreto (medida em psi) usando um tratamento acelerado. Suponha que a equação da reta de regressão que relaciona x e y seja y=1.800+1,3x+epsilon, onde epsilon é uma variável aleatória gaussiana com desvio padrão igual a 350 psi.
Qual a probabilidade de o valor observado de resistência do tratamento padrão ultrapassar 5.000 psi, quando o valor da resistência usando o tratamento acelerado for 2.500 psi?

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de regressão linear simples misturado com probabilidade. A ideia é: temos uma reta de regressão que diz como a resistência padrão do concreto (y) se comporta em função da resistência acelerada (x), mas com um “ruído” aleatório que segue uma normal. O enunciado é:
y = 1800 + 1,3 x + ε, onde ε ~ N(0, 350²).
Pergunta: qual a P(y > 5000 psi) quando x = 2500 psi?
Matéria envolvida:
  • Regressão linear simples (média condicional de y dado x)
  • Variável aleatória normal (padronização e uso da tabela da normal)

Passo 2

Calcular a média condicional de y dado x = 2500.
Na regressão, a expectativa de y é
E[ymid x] = 1800 + 1,3 times x
Então, para x = 2500:
mu = E[ymid 2500] = 1800 + 1,3 times 2500 = 1800 + 3250 = 5050 psi

Passo 3

O desvio padrão condicional de y dado x é simplesmente o desvio de ε, que é
sigma = 350 psi

Passo 4

Agora queremos P(y > 5000). Como y|x é normal com média μ = 5050 e σ = 350, definimos
Z = y - musigma sim N(0,1)
Então
P(y > 5000) = Pl(Z > 5000 - 5050350r) = Pl(Z > -0,1429r)

Passo 5

Usamos a simetria da normal padrão:
P(Z > -0,1429) = P(Z < 0,1429) = Phi(0,1429),
onde Φ é a função de distribuição acumulada da N(0,1).
Consultando a tabela da normal padrão:
Phi(0,14) approx 0,5557, Phi(0,15)approx0,5596,
então para 0,1429 usamos algo como 0,556.

Resposta

A probabilidade de a resistência ultrapassar 5000 psi é aproximadamente 0,556 (ou 55,6%).

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